Bestimmen Sie die Grenzfunktion f der Funktionenfolge f_{n} .

Question

Text erkannt:

Gegeben sei die Funktionenfolge \( f_{n}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f_{n}(x):=\left\{\begin{array}{ll} 2 n^{2} x & , 0 \leq x \leq \frac{1}{2 n} \\ n-2 n^{2}\left(x-\frac{1}{2 n}\right) & , \frac{1}{2 n}<x<\frac{1}{n} \\ 0 & , \frac{1}{n} \leq x \leq 1 \end{array}\right. \)
Bestimmen Sie die Grenzfunktion \( f \) der Funktionenfolge \( f_{n} \). Zeigen Sie jeweils, ob punktweise bzw. gleichmäßige Konvergenz vorliegt.
Zeigen Sie, dass
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x \neq \int \limits_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \)

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hallo, bei dem Thema war ich leider krank und jetzt bin ich total überfordert bei der Aufgabe. Kann mir vielleicht jemand dabei helfen, ich weiß nicht, wie man eine Grenzfunktion bestimmt

LG

Zwiebli und vielen Dank schnomal

Answer 1

Für \(x \in (0,1]\) gilt

\(f_n(x) = 0\) für \(n>\frac 1x \Leftrightarrow \frac 1n < x\).

Außerdem ist \(f_n(0) = 0\) für alle n.

Somit liegt punktweise Konvergenz vor mit

\(\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0\).

Die Konvergenz kann nicht gleichmäßig sein, da sonst die \(f_n\) gleichmäßig beschränkt sein müssten. Es ist aber

\(||f_n||_{\infty} = \sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)| = f\left(\frac 1{2n}\right)= n\).

Du kannst nun \(f_n\) stückweise integrieren oder mal kurz zeichnen und feststellen, dass der Graph von \(f_n\) ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis \([0, 1/n]\) und Höhe \(h=n\) ist. Also

\(\int_0^1 f_n(x)\; dx = \frac 12 \cdot \frac 1n \cdot n = \frac 12\).

Also ist

\(\lim_{n\to\infty} \int_0^1 f_n(x)\; dx = \frac 12 \neq \int_0^1 f(x)\; dx = 0 \)