Berechnen Sie den punktweisen Grenzwert f der Funktionenfolge f_{n} etc

Question

Aufgabe

Berechnen Sie den punktweisen Grenzwert \( f \) der Funktionenfolge \( f_{n} \) und zeigen Sie, dass diese auch gleichmäßig gegen die Grenzfunktion konvergiert.
\( f_{n}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \quad f_{n}(x)=\frac{n x}{n+x} \)

Wie würdet ihr das berechnen?

Answer 1

Hallo :-)

Du kannst den gegebenen Term zb zu diesem hier umformen:

$$ \frac{n\cdot x}{n+x}=\frac{n\cdot x}{n\cdot \left(1+\frac{x}{n}\right)}=\frac{x}{1+\frac{x}{n}} $$

und jetzt eine Grenzwertbetrachtung (in Abhängigkeit von \(x\)) vornehmen.

Comments

Geht der Term nicht gegen 1 ?

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Wie kommst du darauf?

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Ich müsste ja 0 bis 1 einsetzen um zu gucken wie es sich verläuft oder?

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würde erstmal nur x/1 bleiben ?

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Nein. Betrachte den Grenzwert für n gegen Unendlich für ein beliebiges \(x \in [0.1]\).

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Irgendwie bin ich ganz raus tut mir leid :/

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Stell dir einfach x als eine konkrete Zahl vor und mache eine Grenzwertbetrachtung, so wie du es bestimmt sonst gemacht hast. (?)

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Du kannst ja alternativ mal den Grenzwert seperat von Zähler und Nenner betrachten und dann die dir bekannten Grenzwertsätze anwenden, also für Quotient in diesem Falle.

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Hat jemand vielleicht ein fertigen Beweis dazu und wie das aufgeschrieben wird?

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Bitte doch erstmal selber überlegen. Ab wo hakt es?

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Ab wo hakt es?

Vielleicht hat er deinen Vorschlag ernst genommen.

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Kannst du Gedanken lesen? ^^