Wir betrachten \( f_{n}(x)=\frac{1}{(x-n)^{2}} . \) Es folgt für ein beliebiges \( x \notin \mathbb{N} \)
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{(x-n)^{2}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x^{2}-2 x n+n^{2}}=0 \)
Für die gleichmässige Konvergenz berechnen wir
\( \sup _{x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{N}}\left|f_{n}(x)\right|=\sup _{x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{N}}\left|\frac{1}{x^{2}-2 x n+n^{2}}\right| \)
Um den obigen Ausdruck zu maximieren, müssen wir den Nenner minimieren, also bestimmen wir die Minimalstelle (wenn es denn eine gibt) von
\( x^{2}-2 x n+n^{2} \)
Indertat hat die Funktion eine Minimalstelle bei \( x=n \), das dürfen wir aber nicht einsetzen, da \(n \in \mathbb{N}\) und der Nenner somit 0 wäre. Wir können aber somit die Funktion \( x^{2}-2 x n+n^{2} \) beliebig nahe an Null heranbringen und daher den Ausdruck
\(\left|\frac{1}{x^{2}-2 x n+n^{2}}\right|\) beliebig gross machen, somit konvergiert die Folge nicht gleichmässig.
