Beweis zur Beschränktheit der Grenzfunktion einer Funktionenfolge

Question

Aufgabe:

Sei (f_n)_n∈ℕ eine Funktionenfolge reellwertiger Funktionen auf [0, 1], die punktweise

gegen eine Grenzfunktion f : [0, 1] → R konvergiert. Zeigen oder widerlegen Sie die

folgenden Aussagen:

(b) Sind alle f_n beschränkt, so ist auch f beschränkt.

(c) Sind alle f_n beschränkt mit sup_n∈N ∥fn∥_M < ∞, so ist auch f beschränkt.

Problem/Ansatz:

Die erste Frage, die sich hier ergibt ist folgende: Was ist der Unterschied zwischen b) und c)? Ich hätte gedacht, dass bei c) gemeint ist, dass es eine obere Schranke gibt, mit welcher ich alle f_n beschränken kann und bei b) muss diese eine Schranke nicht zwangsweise existieren.

Daraus folgere ich, dass b) nicht stimmen sollte, da c ein schärferes Kriterium fordert. Aber selbst dann stehe ich ein wenig aufm Schlauch.

Comments

Zunächst müsste geklärt werden, was \(\|.\|_M\) bedeutet, ich vermute SupremumsNorm?

Wenn das so ist, dann hast Du Recht: c) würde bedeuten, dass es eine gemeinsame Schranke für alle Funktionswerte (absolut) gibt, während bei b) die Schranken von n abhängen können.

Wenn Du ein Gegenbeispiel für b) suchst, denke daran, dass die f_n beliebige Funktionen sein können, z.B. auch unstetig.

Wenn Du c) beweisen willst, dann brauchst Du im Prinzip denselben Grenzwertsatz wie bei Deiner vorherigen Frage

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Anmerkung: Nur weil c) eine schärfere Bedingung darstellt als b), muss nicht c) wahr sein und b) falsch. Zwar sind Aufgaben oft so konstruiert, aber rein logisch kann man das nicht schließen.

Heißt "...folgere ich..., da...." ist unzulässig.

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Hi

Klar macht sinn. Das war auch nur intuitiv so gedacht. Natürlich ist das keine Rechtfertigung für eine solche Annahme. Aber es scheint in dem Spezialfall sinn zu machen.

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War nur sicherheitshalber angemerkt. Man darf das natürlich mal so vermuten, das ist völlig ok. Zum formalen Nachweis siehe Kommentar von mathhilf.