Die Permutationen und das Signum

Question

Die Permutation ist (1 3 5). Um das Signum zu bestimmen, muss ich ja die Fehlstände zählen. In dem Fall (1,2),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,6). Also sechst Stück und damit gerade, also sgn(1 3 5) = 1. Oder man kann ja (1 3 5) = (1 5) (1 3) schreiben, wobei sgn(1 5) = sgn(1 3) = -1 ist, also insgesamt 1. Ich hoffe das ist erstmal richtig?

Als zweites sollte ich die Permutation in disjunkte Zykel zerlegen. Wie mache ich das?

Answer 1

Guck dir an, worauf die 1 nacheinander abgebildet wird, da hast du den ersten Zyklus.

Comments

Welche Permutation ist denn mit (1 3 5) gemeint? Das ist doch selbst ein Zyklus.

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Ja also (1 3 5) ist ein Element des S_6. Also 1 bildet auf 3, 3 auf 5, 5 auf 1 und der Rest auf sich selbst.

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Also ein Zyklus.

Die (bis auf die Reihenfolge eindeutige) Zerlegung in disjunkte Zyklen erhält man, indem man nach dem ersten Zyklus eine Ziffer wählt, die darin nicht enthalten ist und den davon erzeugten Zyklus bildet, usw.

Einen Zyklus der Länge n kann man in n-1 Transpositionen zerlegen, er hat also das Signum (-1)^n-1.

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Kannst du mir ein Beispiel geben?

Übrigens geht das bei (1 3 5) überhaupt?

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(1 2 3 4 5 6)

↓

(2 3 5 1 6 4)

in disjunkte Zyklen zerlegt:

(1,2,3,5,6,4) [habe ein blödes Beispiel erwischt].

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(1 2 3 4 5 6)

↓

(3 2 1 6 4 5)

= (1,3)(2)(4,6,5)   Hier ist die Reihenfolge egal, die Zyklen sind vertauschbar.

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Danke Dir! Das ist jetzt klarer geworden :)