Gute Frage, und auf den ersten Blick könnte man meinen, die Aussage könnte falsch sein. Sie stimmt aber unter näherer Betrachtung.
1. Option kurz und knackig: Nimm dir beliebige \(x_1\leq x_2\in [0,1]\). Jetzt hast du zwei konvergente Folgen, nämlich \(a_n:=f_n(x_1),b_n:=f_n(x_2)\). Diese Notation, um dich in der Anschauung etwas von der Funktion wegzubewegen, dass du nurnoch diese beiden Folgen betrachtest. Diese Folgen sind selbst nicht notwendigerweise monoton (das ist vielleicht das, was in der Anschauung für Verwirrung sorgen könnt), aber es gilt für jedes \(n\in\mathbb{N}:a_n\leq b_n\) aufgrund der Monotonie jedes \(f_n\). Nach dem Squeeze-Theorem gilt \(f(x_1)=\lim a_n\leq \lim b_n = f(x_2)\).
Benutzt eventuell einen Satz, den du noch nicht hattest, ist aber schön einleuchtend: Sobald du nurnoch über diese beiden Folgen nachdenkst, ist es klar, denn: Die kleinere Folge kann natürlich keinen höheren Grenzwert haben als die größere Folge.
2. Option, weniger Benutzen von Werkzeugen und mehr Schmutzigmachen der eigenen Hände: Angenommen, es gäbe eine punktweise konvergente Funktionenfolge \(f_n:[0,1]\to\mathbb{R}\) monotoner Funktionen, deren Grenzfunktion nicht monoton ist. Seien also \(x_1<x_2\), sodass \(f(x_1)>f(x_2)\), und sei \(\varepsilon:=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{2}>0\). Durch punktweise Konvergenz bekommst du an der Stelle \(x_1\) ein \(N_1\in\mathbb{N}\), sodass für alle \(n\geq N_1\) gilt: \(f_n(x_1)>f(x_1)-\varepsilon\). Andersrum abgeschätzt an der Stelle \(x_2\) ein \(N_2\in\mathbb{N}\), sodass für alle \(n\geq N_2\) gilt: \(f_n(x_2)<f(x_2)+\varepsilon\). Für \(n=\max(N_1,N_2)\) gilt also durch Zusammensetzung dieser Ungleichungen: \(f_n(x_1)>f_n(x_2)\), was ein Widerspruch zur Monotonie aller \(f_n\) ist.
