Lokale Extrema einer Funktion von mehreren Veränderlichen bestimmen und spezifizieren

Question

Sei

$$ f: \mathbb {R^2} \setminus \{(x,y) \in \mathbb{R^2} : xy = 0\} \to \mathbb{R} $$  mit  $$ f(x,y) = \frac{1}{y} - \frac{1}{x} - 4x+y $$.

Berechne alle lokalen Extrema von f und bestimme, ob es sich um lokale Minima oder lokale Maxima handelt.

Wie gehe ich bei so einer Aufgabe vor? Was sind die einzelnen Schritte? Wie würde die ausführliche Lösung aussehen? Ich weiß zwar, dass man hier irgendwie eine Hessematrix benötigt und die Definitheit bestimmen muss aber habe absolut keine Ahnung wie man sowas macht. 

Zusatzfrage: Wozu und wann brauche ich die Jakobimatrix? Welcher unterschied besteht in der Anwendung zum Hessematrix?

Danke 

Answer 1

Erst mal die partiellen Ableitungen bilden und beide = 0 setzen

f ' _x (x,y) =   1/x^2 - 4          f ' _y (x,y) =   - 1/y^2   + 1

0 setzen

  1/x^2 - 4    = 0          und           - 1/y^2   + 1  = 0

1/x^2   =  4             und           1  =    1 / y^2 

x = ± 0,25            und      y =    ±    1 

Also gibt es 4 kritische Punkte

( 0,25 / 1  )   ( - 0,25 / 1  )   ( 0,25 / - 1  )   ( - 0,25 / - 1  ) 

und diese jetzt - wie du es beschreibst - mit Hesse-Matrix untersuchen.

Comments

Wow das ging aber schnell! :) 

Allerdings weiß ich ja nicht, wie man das mit der Hesse-Matrix macht. Da fallen Begriffe wie Eigenwerte usw, was mich vollkommen verwirrt. Bis zu diesen von dir berechneten Punkten wäre ich vielleicht noch mit eigener Kraft gekommen aber da hört es auch schon auf ...

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Hessematrix mit den 2. part. Ableitungen bilden, gibt

-2*x ^-3          0

     0            2y ^-3 

also beim 1. Punkt    ( 0,25 / 1  )

-2 * 64        0
     0           2

also ein positiver und ein negativer Eigenwert

also indefinit, also Sattelpunkt.

also beim 2. Punkt    ( -0,25 / 1  )

-2 * - 64        0
     0           2

also zwei  positive  Eigenwerte

also pos definit, also Min.   etc.

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Perfekt! Jetzt wird das etwas einleuchtender. Vielen Dank für deine schnelle Hilfe! 

Besten Gruß