Lokale und globale Extrema einer bivariaten Funktion

Question

Aufgabe:

… Bestimmen Sie für die Funktion ƒ : ℝ² → ℝ ,  ƒ(x , y) := x² e^y die lokalen und globalen Extrema .

Problem/Ansatz:

… Wie kann man die Aufgabe lösen ?

Answer 1

Aloha :)

Kandidaten für Extrema der Funktion$$f(x;y)=x^2e^y$$finden wir dort, wo der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f=\binom{2xe^y}{x^2e^y}\implies x=0\;\land\;y\in\mathbb R$$Da \(e^y>0\) für alle \(y\in\mathbb R\) muss bei allen Kandidaten \(x=0\) gelten.

Es gibt also unendlich viele Kandidaten \((0|y)\) mit \(y\in\mathbb R\) für Extrema.

Die Hesse-Matrix bringt uns zur Bewertung der Kandidaten nicht weiter, weil sie positiv semi-definit ist. Da aber \(x^2\ge0\) für alle \(x\in\mathbb R\) und \(e^y>0\) für alle \(y\in\mathbb R\) gilt$$f(x;y)=x^2e^y\ge0$$

Für alle Kandidaten \((0|y)\) nimmt \(f(0;y)=0\) daher den minimalen Funktionswert an.

Auf der gesamten \(y\)-Achse nimmt die Funktion ihr globales Minimum an.

Answer 2

ƒ : ℝ^2 → ℝ , ƒ(x , y) := x^2 e^y die lokalen und globalen Extrema .

partielle Ableitungen sind

f_x = 2x*e^y   und f_y= x^2*e^y

beide gleich 0 gibt es nur beim Punkt (0;0).

An anderen Punkten können also keine Extrema sein.

Dort ist der Funktionswert f(0;0)=0.

Negative Funktionswerte sind nicht möglich, da x^2 und e^y

beide nie negativ sind, also ist bei (0;0) das globale Minimum

mit Wert 0.