Aufgabe:
(a) Für alle a,b,x,y∈R+ a, b, x, y \in \mathbb{R}^{+} a,b,x,y∈R+gilt: xa+yb>x+ya+b \quad \frac{x}{a}+\frac{y}{b}>\frac{x+y}{a+b} ax+by>a+bx+y
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Problem/Ansatz:
Die b habe ich hingekriegt habe aber Schwierigkeiten bei der a. Wäre sehr dankbar wenn mir da jemand helfen könnte.
Ist dir klar, dass hier xa>xa+b \frac{x}{a} >\frac{x}{a+b}ax>a+bx und ebenso yb>ya+b \frac{y}{b} >\frac{y}{a+b}by>a+by gilt?
Wie meinst du das denn genau? Also wirklich verstehen tu ich die Aufgabe nicht sry
Wie meinst du das denn genau?
Ich meinte genau, dass ich wissen wollte, ob dir klar ist, dass (wenn alle beteilgten Zahlen positiv sind) unter anderem
xa>xa+b \frac{x}{a} >\frac{x}{a+b}ax>a+bx
gilt.
Ist dir das tatsächlich klar?
Aso ja das ist mir natürlich klar. Wie mach ich denn da weiter das verstehe ich irgendwie gar nicht
Das habe ich gemacht. Ich habe aus xa \frac{x}{a} ax den Term xa+b\frac{x}{a+b}a+bx gemacht und erstaunt stellen wir fest, dass xa>xa+b \frac{x}{a} >\frac{x}{a+b}ax>a+bx gilt.
Ebenso gilt yb>ya+b \frac{y}{b} >\frac{y}{a+b}by>a+by.Welche Ungleichung gilt dann wohl für die Summe xa+yb\frac{x}{a} +\frac{y}{b} ax+by ?
Aso okay und die Summe ergibt dann logischerweise (x+y)/(a+b)
Ein anderes Problem?
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