Nachweis von Ungleichungen

Question

Aufgabe:

(a) Für alle \( a, b, x, y \in \mathbb{R}^{+} \)gilt: \( \quad \frac{x}{a}+\frac{y}{b}>\frac{x+y}{a+b} \)

Hinweis: Vergrößern Sie die Nenner auf der linken Seite.

Problem/Ansatz:

Die b habe ich hingekriegt habe aber Schwierigkeiten bei der a. Wäre sehr dankbar wenn mir da jemand helfen könnte.

Answer 1

Ist dir klar, dass hier \( \frac{x}{a} >\frac{x}{a+b}\)  und ebenso \( \frac{y}{b} >\frac{y}{a+b}\)  gilt?

Comments

Wie meinst du das denn genau? Also wirklich verstehen tu ich die Aufgabe nicht sry

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Wie meinst du das denn genau?

Ich meinte genau, dass ich wissen wollte, ob dir klar ist, dass (wenn alle beteilgten Zahlen positiv sind) unter anderem

\( \frac{x}{a} >\frac{x}{a+b}\) 

gilt.

Ist dir das tatsächlich klar?

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Aso ja das ist mir natürlich klar. Wie mach ich denn da weiter das verstehe ich irgendwie gar nicht

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Hinweis: Vergrößern Sie die Nenner auf der linken Seite.

Das habe ich gemacht. Ich habe aus \( \frac{x}{a} \)  den Term \(\frac{x}{a+b}\)  gemacht und erstaunt stellen wir fest, dass  \( \frac{x}{a} >\frac{x}{a+b}\)  gilt.

Ebenso gilt \( \frac{y}{b} >\frac{y}{a+b}\).
Welche Ungleichung gilt dann wohl für die Summe   \(\frac{x}{a} +\frac{y}{b} \) ?

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Aso okay und  die Summe ergibt dann logischerweise (x+y)/(a+b)