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Zeigen Sie für alle n ∈ N, dass die folgenden Ungleichungen gelten

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Satz 1.59 (Bernoullische Ungleichung).
Für alle reellen x1 x \geq-1 und nN0 n \in \mathbf{N}_{0} gilt (1+x)n1+nx (1+x)^{n} \geq 1+n x .

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Übungsaufgabe 1. (10+10+4 \left(10+10+4\right. Pkt.) Seien an : =(n+1n)n,bn : =(n+1n)n+1 a_{n}:=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}, b_{n}:=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1} für nN n \in \mathbb{N} . Zeigen Sie für alle nN n \in \mathbb{N} , dass die folgenden Ungleichungen gelten:
a) an<an+1 a_{n}<a_{n+1} ,
b) bn>bn+1 b_{n}>b_{n+1}
c) an<bn a_{n}<b_{n} .
(Tipp: Verwenden Sie die Bernoullische Ungleichung aus Satz 1.59.)

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[(n+1)/n]n = (1+1/n)n

[(n+1)/n]^(n+1)=  (1+1/n)n'* (1+1/n)

Bevor du solche Umformungen postest, solltest du sicher sein, dass sie auch zielführend sind.

Ohne deine Schritte geht es jedenfalls folgendermaßen :
an=(n+1n)n=1(nn+1)n=1(11n+1)n=(1+1n+1)n(1(1n+1)2)n(1+1n+1)n1n(n+1)2=(n+2n+1)n11n+2+1n<(n+2n+1)n11n+2=(n+2n+1)n · n+2n+1=(n+2n+1)n+1=an+1 a_n = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \frac{1}{\left( \frac{n}{n+1} \right)^n} = \frac{1}{\left( 1-\frac{1}{n+1} \right)^n} = \frac{{(1+\frac{1}{n+1})^n}}{\left( 1-(\frac{1}{n+1})^2 \right)^n} \leq \frac{(1+\frac{1}{n+1})^n}{ 1-\frac{n}{(n+1)^2} } = \frac{(\frac{n+2}{n+1})^n}{ 1-\frac{1}{n+2+\frac1n} } < \frac{(\frac{n+2}{n+1})^n}{ 1-\frac{1}{n+2} } = (\frac{n+2}{n+1})^n·\frac{n+2}{n+1} = (\frac{n+2}{n+1})^{n+1} =a_{n+1}

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