Question

Zeigen Sie für alle n ∈ N, dass die folgenden Ungleichungen gelten

Text erkannt:

Satz 1.59 (Bernoullische Ungleichung).
Für alle reellen \( x \geq-1 \) und \( n \in \mathbf{N}_{0} \) gilt \( (1+x)^{n} \geq 1+n x \).

Text erkannt:

Übungsaufgabe 1. \( \left(10+10+4\right. \) Pkt.) Seien \( a_{n}:=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}, b_{n}:=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1} \) für \( n \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie für alle \( n \in \mathbb{N} \), dass die folgenden Ungleichungen gelten:
a) \( a_{n}<a_{n+1} \),
b) \( b_{n}>b_{n+1} \)
c) \( a_{n}<b_{n} \).
(Tipp: Verwenden Sie die Bernoullische Ungleichung aus Satz 1.59.)

Comments

[(n+1)/n]^n = (1+1/n)^n

[(n+1)/n]^(n+1)=  (1+1/n)^n'* (1+1/n)

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Bevor du solche Umformungen postest, solltest du sicher sein, dass sie auch zielführend sind.

Ohne deine Schritte geht es jedenfalls folgendermaßen :
\( a_n = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \frac{1}{\left( \frac{n}{n+1} \right)^n} = \frac{1}{\left( 1-\frac{1}{n+1} \right)^n} = \frac{{(1+\frac{1}{n+1})^n}}{\left( 1-(\frac{1}{n+1})^2 \right)^n} \leq \frac{(1+\frac{1}{n+1})^n}{ 1-\frac{n}{(n+1)^2} } = \frac{(\frac{n+2}{n+1})^n}{ 1-\frac{1}{n+2+\frac1n} } < \frac{(\frac{n+2}{n+1})^n}{ 1-\frac{1}{n+2} } = (\frac{n+2}{n+1})^n·\frac{n+2}{n+1} = (\frac{n+2}{n+1})^{n+1} =a_{n+1}\)