Zeigen Sie die folgenden Ungleichungen.

Question

Text erkannt:

1. Zeigen Sie die folgenden Ungleichungen.
(ii) \( \sum \limits_{j=1}^{n-1} j^{p}<\frac{n^{p+1}}{p+1} \quad \) für \( p \in \mathbb{N} \), falls \( n \geq 2 \).

Problem/Ansatz:

Answer 1

Wenn du zur Ungleichung ii) auf beiden Seiten n^p addierst, erhältst du

 \( \sum \limits_{j=1}^{n} j^{p}<\frac{n^{p+1}}{p+1} +n^p\quad \)

Die Induktionsbehauptung ist bewiesen, wenn du

\( \frac{n^{p+1}}{p+1} +n^p <\frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} \) zeigen kannst.

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Text erkannt:

(ii)
\( \begin{array}{l} n=1: \\ \sum \limits_{j=1}^{1} 1^{p}<\frac{(p+1)^{p+1}}{1+1} \Rightarrow \sum \limits_{j=1}^{1} 1^{p}<\frac{2^{p+1}}{2} \Rightarrow \sum \limits_{j=1}^{1} 1^{p}<\frac{2^{p}+x}{2} \Rightarrow \sum \limits_{j=1}^{1} 1^{p}<2^{p} \Rightarrow \sum \limits_{j=1}^{1} 1<2^{p} \\ \Rightarrow 2^{0}<2^{p} \Rightarrow 0<p \text {, da gilt } p \in \mathbb{N} \square \\ n+1: \\ \sum \limits_{j=1}^{n} 1^{p}<\frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} \Rightarrow \frac{n^{p+1}}{p+1}+n^{p}<\frac{(n+p)^{p+1}}{p+1} \Rightarrow \frac{n^{p+1}}{p+1}+n^{p}<\frac{n^{p+1}+p^{p+1}}{p^{p+1}} \\ \Rightarrow \frac{n^{p+1}}{p+1}+n^{p}<\frac{n^{p+1}}{p+1}+\frac{p^{p+1}}{p+1} \Rightarrow n^{p}<\frac{p^{p+1}}{p+1} \Rightarrow \end{array} \)

Ich komme bei der Umformung nicht weiter.

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Ich komme bei der Umformung nicht weiter.

Nutze den binomischen Lehrsatz. In diesem Fall reicht$$(x+1)^{n} = \sum\limits_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k}$$wende das an auf:$$(n+1)^{p+1} $$Hinweis$${n \choose 0} = 1 \quad {n \choose 1} = n$$

Answer 2

Falls du Integration benutzen darfst:

$$\begin{array}{rcl}\sum_{j=1}^{n-1}j^p &=& \sum_{j=1}^{n-1}\int_j^{j+1}j^p\, dx \\ & < & \sum_{j=1}^{n-1}\int_j^{j+1}x^p\, dx \\ & = & \int_1^n x^p\, dx \\ & = & \left[\frac{x^{p+1}}{p+1}\right]_1^n \\ & = & \frac{n^{p+1}}{p+1}- \frac 1{p+1} \\ &<& \frac{n^{p+1}}{p+1}\end{array}$$

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Leider nicht