Zeigen Sie mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung...

Question

Aufgabe:

Für n ∈ N sei e^*_n = (1+ 1/n)⁽ⁿ⁺¹⁾.

Zeigen Sie mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung,dass die Folge (e*_n) streng monoton fallend ist.

Ich freue mich über jeden Ansatz und jede Lösung!!

Vielen Dank im Voraus!!

Answer 1

Hallo

bilde e_n/e_n+1  und zeige, dass es >1 ,vereinfache, indem du im Nenner (1+1/(n+1)) ausklammerst den Rest also (...)^(n+1)  schätzt du mit Bernoulli ab, dass er größer ist als der Nenner .

Gruß lul

Answer 2

Wegen $$  (n+1)^2 > n(n+2) $$ folgt $$  1+\frac{n+1}{n(n+2)} > 1+\frac{1}{n+1} $$ also wegen Bernoulli

$$  1+\frac{1}{n+1} < \left(  1+\frac{1}{n(n+2)} \right)^{n+1} = \left(  \frac{(n+1)^2}{n(n+2)} \right)^{n+1} = \left(  \frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n+1}} \right)^{n+1} $$

Also $$  e_{n+1} < e_n  $$