Beweis durch Induktion mit der Bernoullischen Ungleichung

Question

Aufgabe:

Beweise die Abschätzung $$n!\leq4(\frac{2}{n})^{n+1}$$ für n = 1,2,3,... durch Induktion und mit der Bernoullischen Ungleichung.

Problem/Ansatz:

Mein Problem liegt hier im Induktionsschritt (n = n+1). Mein Ansatz ist: $$(n+1)! = (n+1)n!\leq(n+1)\cdot4(\frac{2}{n})^{n+1}$$

Von hier an weiß ich aber nicht, wie ich die Bernoullische Ungleichung $$(1+h)^{n} \geq 1+nh$$ anwenden soll, um auf die zu beweisende Ungleichung zu kommen.

Comments

Überprüfe mal die von Dir angegebene Ungleichung für n=4.

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Ah Okay. Die Ungleichung ist also nur gültig für $$1\leq n \leq2$$ Wie aber kann ich die Bernoullische Ungleichung verwenden, um das zu beweisen?

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Du brauchst nur für n=1 und n=2 nachrechnen, dass die Ungleichung gilt.

Ich bin mir aber sicher, dass Du die Ungleichung falsch abgeschrieben hast

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Habe grade nochmal in Buch nachgeguckt und die Aufgabe steht dort tatsächlich so. Finde die Aufgabe etwas komisch. Was Du sagst macht aber natürlich Sinn. Vielen Dank für die Hilfe!

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Sinnvoll wäre es mit n/2 statt 2/n

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Das stimmt. Ich werde mal versuchen, ob ich die Ungleichung mit n/2 beweisen kann. Eventuell handelt es sich hierbei um eine Druckfehler. Das Buch ist nämlich eine relativ alte Auflage.

Answer 1

Aloha :)

Diese Ungleichung kann man nicht beweisen, weil sie falsch ist. Das erkennst du bereits durch Einsetzen der ersten paar Werte für \(n\). Ich kenne die Abschätzung:$$n!\le2\left(\frac n2\right)^n$$Die kommt dem Gestammel aus deinem Buch recht nahe, wenn man den Kehrwert des Bruches nimmt:$$4\left(\frac n2\right)^{n+1}=4\cdot\frac n2\cdot\left(\frac n2\right)^n=2\cdot n\cdot\left(\frac n2\right)^n$$Die mir bekannt Abschätzung wäre sogar strenger. Ihr Beweis geht so:

Induktions-Verankerung bei \(n=1\):$$1!=1\quad;\quad2\left(\frac12\right)^1=1\quad\implies\quad 1!\le2\left(\frac12\right)^1\quad\checkmark$$

Induktions-Schritt von \(n\) auf \(n+1\):$$2\left(\frac{n+1}2\right)^{n+1}=2\left(\frac{n+1}{2}\right)\left(\frac{n+1}{2}\right)^n=(n+1)\left(\frac n2\left(1+\frac12\cdot\frac 2n\right)\right)^n$$$$\phantom{2\left(\frac{n+1}2\right)^{n+1}}=(n+1)\left(\frac n2\right)^n\left(1+\frac1n\right)^n\stackrel{(\text{Bernoulli})}{\ge}(n+1)\left(\frac n2\right)^n\left(1+\frac nn\right)$$$$\phantom{2\left(\frac{n+1}2\right)^{n+1}}=(n+1)\cdot2\left(\frac n2\right)^n\stackrel{(\text{Ind.Vor.})}{\ge}(n+1)\cdot n!=(n+1)!\quad\checkmark$$

Comments

Das macht deutlich mehr Sinn als die Ungleichung aus dem Buch. Vielen Dank!