Per Induktion die Bernoullischen Ungleichungen Beweisen

Question

Sei n ∈N.

a) Für x₁ , x₂ , ... , x_n ≥ 0 ist 

    (1+x₁)*(1+x2)*(1+xn) ≥ 1 + x₁ + x₂ + _{... +} x_n

b) Für 0 ≤ x₁, x₂, _... , x_n  ≤ 1 ist

    (1-x₁)*(1-x₂)* ... * (1-x_n) ≥ 1 - x₁ - x₂ - ... - x_n

     _Hallo.

     _{Der Iduktionsstart ist mir klar, doch weiß ich nicht weiter. Würde mich über Hilfen freuen.}

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Hat sich erledigt.

Answer 1

Sei n ∈N.

a) Für x₁ , x₂ , ... , x_n ≥ 0 ist 

    (1+x₁)*(1+x₂)*...*(1+x_n) ≥ 1 + x₁ + x₂ + _... + x_n

Sei also n∈ℕ und es gelte 

   (1+x₁)*(1+x₂)*...*(1+x_n) ≥ 1 + x₁ + x₂ + _... + x_n

für x₁ , x₂ , ... , x_n ≥ 0 .

Seien nun Für x₁ , x₂ , ... , x_n,  x_n+1 ≥ 0

Dann ist   (1+x₁)*(1+x₂)*...*(1+x_n)*(1+x_n+1)

               ≥ (1 + x₁ + x₂ + _... + x_n)*(1+x_n+1) 

               = (1 + x₁ + x₂ + _... + x_n) +(1 + x₁ + x₂ + _... + x_n)*x_n+1    

                = (1 + x₁ + x₂ + _... + x_n) +(x_n+1 + x_n+1*x₁ + *x_n+1x₂ + _... + x_n+1*x_n)

                = (1 + x₁ + x₂ + _... + x_n +x_n+1 )+( x_n+1*x₁ + *x_n+1x₂ + _... + x_n+1*x_n) 

                  ≥ 1 + x₁ + x₂ + _... + x_n +x_n+1  , weil die 2. Klammer positiv ist.

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Dankkeschön! Nun sollte ich auch die b) schaffen.

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Denke ich auch.