Konvergenz der Folge (a)n = (1 + 1/n^2)^n gegen 1 zeigen.

Question

Folgende Aufgabenstellung:
Weiß jemand wie man an die Aufgabe herangehen könnten?

Kann man in diesem Fall mit der Bernoulli-Ungleichung arbeiten oder ist es sinnvoller den Beweis über das Monotoniekriterium für die Konvergenz zu führen?

Vielen Dank schon Mal

Comments

Man könnte allenfalls eine Reihe draus machen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28+1+%2B+1%2Fn%5E2%29%5En+

Ob du das schon gehabt hast?

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Vom Duplikat:

Titel: Folgen auf Konvergenz bestimmen und ihre Grenzwerte finden

Stichworte: konvergenz,folge,monotonie,beschränkt,fallunterscheidung,bernoulli,ungleichungen

Ich habe hier ein paar Aufgaben und habe mal 2 davon rausgesucht.
Diese soll ich mit der (a)Bernoulli-Ungleichung lösen bzw. eine (b)Fallunterscheidung durchführen und sie auf Konvergenz, Monotonie oder Beschränktheit untersuchen.

a_n = (1-(1/n²)ⁿ

b_n =(1+qⁿ)/(1+qⁿ+(-q)ⁿ)

Über eine Lösung der Aufgaben wäre ich sehr froh!

MfG

der Dummkopf

Answer 1

ich glaube es geht so

an = ( 1 + 1/n²)^n  = (( 1 + 1/n²)^n )^{n²/n²} = (( 1 + 1/n²)^n² )^{n/n²} = (e)^{1/n} = e^{0} = 1

denke so sollte es gehen^^

Comments

Die e-Funktion haben wir in der Vorlesung noch nicht behandelt aber dennoch danke

Wie könnte man es denn ohne beweisen? :)

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Das wäre auch mein erster Ansatz gewesen, aber ich soll leider nur unter Beachtung der Bernoulli- Ungleichung bzw. über die Monotonie beweisen :/