folge konvergent gegen einen grenzwert x

Question

Seien a größer 0 und x₀ größer 0 reelle Zahlen. Die Folge (x_n)_n≥1 sei rekursiv definiert durch

x_n+1 =1/2(x_n + a/x_n) für n∈ ℕ_o

Zeigen Sie:

a) Die folge x_n ist monoton fallend und nach unten beschränkt, also konvergent gegen einen Grenzwert x.

b) es gilt im n →∞_n =lim n→∞ x_n+1

Answer 1

Hi,
monoton fallend bedeutet das für die Folge gelten soll \( x_{n+1} < x_n \) also
$$ \frac{1}{2}\left( x_n+\frac{a}{x_n} \right) < x_n $$
Das ist äquivalent zu \( x_n^2 > a  \) falls \( x_n > 0 \)

Also müssen wir das beweisen.
$$  x_{n+1}^2-a=\frac{1}{4}\left( x_n+\frac{a}{x_n} \right)^2-a=\frac{1}{4}x_n^2-\frac{a}{2}+\left(\frac{a}{2x_n}\right)^2= \frac{1}{4} \left(x_n-\frac{a}{x_n} \right)^2 > 0 $$
Damit ist \(  x_{n+1}^2>a \)
Also muss noch nachgewiesen werden das \( x_n > 0 \) für alle \( n \in  \mathbb{N} \) gilt.
Das ist aber einfach, da wenn \( x_n > 0 \) ist, dann ist \( x_{n+1} = x_n+\frac{a}{x_n} > 0 \)
Damit ist die Folge konvergent weil sie beschränkt und monoton fallend ist.

Der Grenzwert berechnet sich aus der Gleichung
$$ x_\infty=\frac{1}{2} \left( x_\infty+\frac{a}{x_\infty} \right) $$
Und die Lösung ist \( x_\infty=\sqrt{a} \)