Folge monoton fallend gegen e

Question

ich habe folgende Aufgabe bekommen:

Die Folge (1+\( \frac{1}{n} \))ⁿ⁺¹  konvergiert monoton fallend gegen e

Leider weiß ich nicht genau wie ich es Zeigen soll.

Folgenden Ansatz haben wir als Tipp bekommen:

(1+\( \frac{1}{n} \))ⁿ * (1+\( \frac{1}{n} \))

=> lim  n->∞ (1+\( \frac{1}{n} \))ⁿ  * lim  n->∞ (1+\( \frac{1}{n} \)) = e

a_n = (1+\( \frac{1}{n} \))ⁿ⁺¹   a_n+1 = (1+\( \frac{1}{n} \))ⁿ⁺²   

a_n+1/a_n < 1

Bei mir stellen sich jetzt zwei Fragen, wie kommt man genau auf den Ansatz und wie führe ich den Sinnvoll weiter?

Comments

Zur Monotonie siehe auch hier: https://www.mathelounge.de/491346/zeigen-sie-dass-zahlenfolge-mit-streng-monoton-fallend-ist.

Answer 1

"wie kommt man genau auf den Ansatz"

Das ist ein Potenzgesetz-

 "und wie führe ich den Sinnvoll weiter?"

Zunächst mal beseitigst du deinen Fehler. Bei a_n+1 ist der Bruch in der Klammer nicht mehr 1/n, sondern 1/(n+1).

Und dann bilde den Quotienten. Zerlege dabei die Potenz (...)ⁿ⁺² in das Produkt (...)ⁿ⁺¹·(...)¹.