Wächst/ Fällt meine Folge. Wie wird das Bewiesen? an:=(1+1/n)^n, bn:=(1+1/n)^{n+1}

Question

Ich stehe nun vor dieser Aufgabe und weiß leider nicht wie genau mir der Hinweis und das, was darunter steht helfen soll..

Ich habe als Tipp das Quotientenkriterium bekomen und diesen auch angewandt, um zu zeigen, dass a_n monoton wächst.
Ich vermutte mal, dass ich a_n umschreiben kann in die Form mit dem Summenzeichen..
Wollte dann lieber doch nochmal hier fragen, bevor ich einen ganz falschen Weg einschlage..

Answer 1

Hi,
$$ a_n \le a_{n+1} \Leftrightarrow \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{-1} \le \left( \frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}} \right)^{n+1} \Leftrightarrow \left[ \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \right]^{n+1} $$
Wegen $$ \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{-1} = 1-\frac{1}{n+1} $$ und
$$ \left[ \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \right] = 1-\frac{1}{(n+1)^2} $$ folgt, man muss nachweisen das gilt
$$ 1-\frac{1}{n+1} \le \left[ 1-\frac{1}{(n+1)^2} \right]^{n+1} $$ das ist aber wegen der Bernoullischen Ungleichung richtig.

Ähnlich kann man beweisen das gilt \( b_{n+1} \le b_n \)

Weil \( 1 + \frac{1}{n} > 1 \) ist folgt, \( a_n < b_m \) für alle \( n,m \in \mathbb{N} \)

Deshalb ist die Folge \( a_n \) monoton wachsend und nach oben beschränkt, also konvergent und die Folge \( b_n \) ist monoton fallend und nach unten beschränkt, also ebenso konvergent.
Damit gilt $$ a = \lim_{n\to\infty} a_n \le \lim_{n\to\infty} b_n = b $$
Weiter gilt
$$ 0 \le b_n-a_n = \frac{1}{n}a_n \le \frac{1}{n} b_1 $$
Damit konvergieren beide Folgen gegen den gleichen Grenzwert, den man \( e \) nennt.

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Vielen Dank für die sehr ausführliche Hilfe :)