Grenzwert einer Folge gesucht: an={(3n+1)/(1-3n)}^n

Question

Folgende Folge wurde in expliziter Form an={(3n+1)/(1-3n)}^n

Nach umformen kommen ich auf folgenden Ausdruck ((-1)^n)*{e^{1/3}}/{e^{-1/3}} draus würde dann ja folgen, dass die folge unbestimmt divergent ist. mit den Häufigkeitspunkten -e^{2/3} und e^{2/3}

Als Lösung haben wir aber folgende Häufigkeitspunkte geben e^{2/3} und e^{-2/3} leider weiß ich nicht wie auf den zweiten Häufigkeitspunkt kommt. Denn meiner Meinung nach müsste diese -e^{2/3}.

Ich hoffe mir kann jemand weiterhelden.

Comments

Deine Lösung ist richtig, die Häufungspunkte sind exp(2/3) und -exp(2/3).

Answer 1

lim (n --> ∞) ((3·n + 1)/(1 - 3·n))^n

lim (n --> ∞) (-1 - 2/(3·n - 1))^n

lim (n --> ∞) (-1)^n · (1 + 2/(3·n - 1))^n = (-1)^n · e^{2/3}

Comments

@Mathecoach: Ergänze noch lim... nach dem letzten = . Da ist ja immer noch ein n vorhanden.

Es gibt zwei Häufungspunkte und keinen Grenzwert. Alternative: Fallunterscheidung vor dem Grenzübergang.

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Alles klar dass heißt meine Lösungen waren soweit richtig. Durch dass (-1)^n änder sich ja ständig das Vorzeichen. Dass man den Bruch aus e^{1/3}/e^{-1/3} zu e^{2/3} habe ich ja schon gesehen sonst kommt man ja auch nicht auf e^{2/3}. Vielen Dank für die ausführlichen Kommentare.

Somit erhält man die beiden Häufigkeitspunkte -e^{2/3} und e^{2/3}. Dass es keinen Grenzwert ergibt sich ja dadurch, dass es unbestimmt divergent ist und nicht konvergent.

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@albi26: Richtig. Achtung beiden Häufungspunkte -e^2/3 und e^2/3