Grenzwert bestimmen e in Potenz: lim (e^n*pi^n)/(8^n+9^n) für n-> unendlich

Question

Wie beweise ich folgenden grenzwert von n gegen unendlich: https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+(e%5En*pi%5En)%2F(8%5En%2B9%5En) kann ja auch (e*p/8+9)^n man sieht ja direkt dass der nenner stärker gegen unendlich läuft als der Zähler aber wie beweise ich das, kann ich irgendwie anders kürzen oder etwas Berechnen?

Answer 1

lim (e^n*pi^n)/(8^n+9^n)

= lim ((e*pi)^n)/(8^n+9^n)

Nebenrechnung e*π ≈ 8.539734 < 9      .

Darum: 0< ( e*pi) / 9 < 1 und ((e*pi)/9)^n → 0 für n --> unendlich.

Hauptrechnung

 lim ((e*pi)^n)/(8^n+9^n)          | Erweitern mit 1/9^n

=  lim (((e*pi)/9)^n)/((8/9)^n+1)          . Grenzübergang

= 0 / (0+1)

= 0

Answer 2

$$ 8 < e \cdot \pi < 9 $$

Also $$  \frac{e^n \pi^n}{8^n+9^n}  = \frac{1}{ \left( \frac{8}{e \cdot \pi} \right)^n + \left( \frac{9}{e \cdot \pi} \right)^n } $$

\( \left( \frac{8}{e \cdot \pi} \right)^n \to 0\) und \( \left( \frac{8}{e \cdot \pi} \right)^n \to \infty \)