lim n--> ∞n√(n2) Berechnen (ohne l'hospital lösen?)

Question

Hallo liebe Community.

Im Moment habe ich Probleme mit dieser bestimmt recht einfachen Aufgabe :

 lim _n--> ∞ ⁿ√(n²).

Es soll hier, wie erkenntlich, der Grenzwert von n gegen Unendlich bestimmt werden von der nten wurzel von n^2.

Das Problem: Wir haben uns noch nicht mit l'hospital befasst, sollen das Ganze wohl auch nicht nutzen. Durch Umformen bin ich bis jetzt auf folgendes gekommen:

lim _n--> ∞ n^2/n

Es handelt sich dann ja um den unbestimmten Fall ∞⁰

Im internet bin ich schon oft auf den Ansatz mit dem Logarithmus Naturalis der eulerschen Zahl getroffen, allerdings hat das ja anscheinend was mit l'hospital zu tun, und das haben wir noch nicht durch genommen.

Bis jetzt waren die Aufgaben durch simples Umformen mit der Anwendung von Potenz/Wurzelgesetzen, der bionomischen Formeln sowie durch daraus resultierendes Kürzen Möglich. 

Mir ist klar, dass der Grenzwert gegen 1 läuft, aber wie kann ich das noch beweisen?

Ich bedanke mich herzlichst im voraus und entschuldige mich schon einmal für meine Blödheit :D

Comments

Kennst Du die AGM-Ungleichung?

Answer 1

n^2/n   = e ^{2/n * ln(n)}  =

und für n gegen unendlich wächst n schneller als 2*ln(n) also geht der

Exponent gegen 0 und damit ist der GW = 1. 

Answer 2

Ich nehme an, das ist ein Aufgabe aus der Anfaengervorlesung. Dann wirst Du Dir schon was ausdenken muessen, das ohne Logarithmus, Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit, Differentialrechnung, L'Hospital oder gar allgemeine Merkregeln wie "Logarithmus waechst langsamer als jede Potenz" auskommt, und stattdessen bloss das benutzt, was bisher in der Vorlesung besprochen wurde.

Kannst z.B. ansetzen $$\sqrt[n]{n^2}=1+h_n$$ mit \(h_n\ge0\). Binomialformel ergibt $$n^2>{n\choose3}h_n^3$$ und \(h_n\) erweist sich als Nullfolge.

Comments

Was ist damit gezeigt?

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Genau das, was die Aufgabe verlangt: \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^2}=1\).

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Hallo Gast, schöner elementarer Ansatz :).