Grenzwert mit ln. Zeige: lim(x ln(1+1/x)) = 1 für x gegen unendlich.

Question

Zeigen Sie

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=1 \)

Meine Vermutung ist das ja e = (1+1/x) ^x  sich mit ln "aufhebt" zu 1 aber ich weiss nicht wie ich das passend umstelle geschweige denn ob meine Vermutung/Ansatz richtig ist.

Über den Lösungsweg würd ich mich freuen, schon mal Danke für die Hilfe :)

Comments

Umstellen könntest du mit Logarithmengesetzen:

 (x ln(1+1/x)) = ln (1+1/x)^x    
Wenn lim ((1+1/x)^x) = e bekannt ist.

 (x ln(1+1/x)) = ln (1+1/x)^x     → ln(e) = 1

Answer 1

Hi,

eigentlich brauchst Du nur l'Hospital zu verwenden ;).


$$\lim \frac{\ln(1+\frac1x}{\frac1x} = \lim\frac{-\frac{1}{x^2+x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim\frac{x^2}{x^2+x} = 1$$


Grüße