Lösen ohne L'Hospital: lim n→∞ n^(1/3) - ln (n^(1/3))

Question

Aufgabe (Lösen ohne L'Hospital):

$$ \lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt[3]{n}-ln(\sqrt[3]{n})) $$

Answer 1

Hallo,

Wende die 3. Binomische Formel an:

*\( (\frac{\sqrt[3]{n}+\ln (\sqrt[3]{n})}{\sqrt[3]{n}+\ln (\sqrt[3]{n})} \)

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}(\sqrt[3]{n}-\log (\sqrt[3]{n}))=\infty \)

Comments

Danke für deinen Tipp Grosserloewe.

Nun komm ich bis hierher:

$$ \lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt[3]{n}-ln(\sqrt[3]{n}))= \lim\limits_{n\to\infty}\frac{(\sqrt[3]{n}-ln(\sqrt[3]{n}))(\sqrt[3]{n}+ln(\sqrt[3]{n}))}{(\sqrt[3]{n}+ln(\sqrt[3]{n}))}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt[3]{n^2}-ln^2(\sqrt[3]{n})}{(\sqrt[3]{n}+ln(\sqrt[3]{n}))} $$

Kann ich nun durch $$ \sqrt[3]{n} $$ teilen so dass ich am Ende $$ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1 - 0}{0 - 0} = \lim\limits_{n\to\infty} \infty $$ heraus bekomme?

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Klammere im Zähler und Nenner

x^(2/3) aus und kürze

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Guten Morgen Grosserloewe,

danke für deine Hilfe.

Wäre es dann so richtig?

$$ \lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt[3]{n}-ln(\sqrt[3]{n}))= \lim\limits_{n\to\infty}\frac{(\sqrt[3]{n}-ln(\sqrt[3]{n}))(\sqrt[3]{n}+ln(\sqrt[3]{n}))}{(\sqrt[3]{n}+ln(\sqrt[3]{n}))}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt[3]{n^2}-ln^2(\sqrt[3]{n})}{(\sqrt[3]{n}+ln(\sqrt[3]{n}))}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{n^2}(1-\frac{ln^2\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{n^2}})}{\sqrt[3]{n^2}(1+\frac{ln\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{n^2}})}= \lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[3]{n^2}*1 = \infty $$

Wäre es nicht auch lösbar gewesen, wenn ich wie folgt vorgegangen wäre?

$$ \lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt[3]{n}-ln(\sqrt[3]{n}))= \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[3]{n}(1-\frac{ln(\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{n}})=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[3]{n}*1 = \infty $$