Von folgender Funktion soll der Grenzwert bestimmt werden:
$$\lim _{ x\rightarrow \infty }{ x\cdot sin(\frac { 1 }{ 2x } } )$$
Dazu soll, wenn möglich, l'Hospital angewendet werden. Ich weiß, dass man, um l'Hospital anzuwenden, das Produkt in einen Bruch umwandeln muss:
$$\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { sin(\frac { 1 }{ 2x } ) }{ 1/x } } $$
Ich kann jetzt aber keinen unbestimmten Ausdruck bilden, da der Sinus im Unendlichen nicht gegen einen bestimmten Wert strebt. L'Hospital macht für mich auch keinen Sinn, da die Ableitung vom Sinus der Cosinus ist und damit das Problem bestehen bleibt.
Deswegen habe ich versucht den Sinus abzuschätzen:
$$\quad \quad \quad \quad \quad \frac { -1 }{ 1/x } \le \frac { sin(1/2x) }{ 1/x } \le \frac { 1 }{ 1/x } \\ \Longleftrightarrow \quad \quad -x\quad \le \frac { sin(1/2x) }{ 1/x } \quad \le \quad x $$
Das funktioniert also auch nicht, weil die beiden Grenzfunktionen in unterschiedliche Richtungen divergieren.
Wie komme ich nun auf den schon vom Taschenrechner ermittelten Grenzwert von 0,5?
