Aufgabe L'Hospital Grenzwertbestimmung Aufgabe c Produktregel?

Question

Wie komme ich auf den gesuchten Grenzwert von k/(k+1)

Answer 1

Aufgabe L'Hospital Grenzwertbestimmung Aufgabe c

Comments

Eine kurze Frage undzwar wo darf ich alles das Limes benutzen also in welchen Fällen darf ich das Limes aufteilen. Nur bei Faktoren ?

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Du kannst den Gesamtgrenzwert durch Aufteilen in Einzellimiten bestimmen, falls diese existieren. Das ist die Anwendbarkeitsvoraussetzung für die entsprechenden Grenzwertsätze. Hier ist das jedoch nicht notwendig und verursacht nur Mehrarbeit.

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Bitte schreibe eigene Beiträge und kommentiere nicht meine.
Was denn für Mehrarbeit?
:-)

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Grosserloewe hat es eigentlich nachvollziehend gemacht und mehrarbeit finde ich jetzt nicht.
Ich wollte nur nochmal wissen in welchen Fällen ich das Limes aufteilen kann.

Answer 2

Hier die Berechnungen

Answer 3

Multipliziere das x vor dem Bruch mit dem Zähler. Dann hast du

(x^k+1 - x ) / ( x^k+1 - 1 )    Das ist Grenzwerttyp 0 / 0 also mit

Hospital zu betrachten

( (k+1) * x^k  -   1 )   /   (k+1) * x^k

Hier geht für x gegen 1 der Zähler gegen  k+1 - 1 und

der Nenner gegen k+1 also insgesamt   k / k+1

Answer 4

$$ \lim_{x\to1} { x \cdot \frac { x^k - 1}{ x^{k+1}-1 } } \\\,\\= \lim_{x\to1} { \frac { x^{k+1} - x}{ x^{k+1}-1 } }  \\\,\\ = \lim_{x\to1} { \frac { (k+1)\cdot x^{k} - 1}{ (k+1)\cdot x^{k} } } \\\,\\= \frac { (k+1)\cdot 1^{k} - 1}{ (k+1)\cdot 1^{k} } \\\,\\ = \frac { k }{ k+1 }.$$