Problem bei L'Hospital Lösungsverfahren (Grenzwerte)

Question

Aufgabe:

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) (1+\( \frac{1}{3x} \))^x

Problem/Ansatz:

ich wollte mal Fragen, ob mein Ansatz/ Lösung, die ich habe so stimmt. Bin nach dem Lösungsverfahren von L'Hospital gegangen.

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) e^{x*ln(1+\( \frac{1}{3x} \))} 

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{ln(1+\frac{1}{3x})}{\frac{1}{x}} \)

Bin ich auf dem richtigen Weg oder stimmt mein Ergebnis sogar?

:)

Answer 1

Ich würde hier allerdings eher über die Def. der Exp.fkt gehen

(1 + t/x)^x geht für x gegen unendlich gegen e^t.

Also ( 1 + (1/3) / x ) ^x geht gegen e^(1/3) .

Mit Hospital geht es auch, bei deinem Term gibt die

Abl. von Zähler und Nenner dann ja

( -1/(x*(3x+1) ) /  ( -1 / x^2 ) =  x^2 / ( (x*(3x+1) ) =  x / (3x+1)  =  1 ( 3 + 1/x )

und das geht auch gegen 1/3.

Comments

Vielen Dank!

Das leuchtet mir jetzt ein :). Der Weg ist ist einfacher.

Answer 2

Das Ergebnis ist die dritte Wurzel aus e.

Das siehst du vielleicht, wenn du den Exponenten x als \( 3x\cdot \frac{1}{3} \) schreibst.

Comments

Vielen Dank!

Habe es nun verstanden :)