Funktion f(x) = cos( |x|^{2/3}) im Punkt x_{0} = 0 auf Differenzierbarkeit untersuchen. Wieso 2 mal l'Hospital anwenden?

Question

Aufgabe:

Man soll die Funktion f(x) = cos( |x|^{2/3}) im Punkt x_{0} = 0 auf Differenzierbarkeit untersuchen.

Problem/Ansatz:

Ich hab in der Aufgabe l'Hospital angewendet und für den Limes x → 0+0  in der Ableitung -1/2 * x^-1/3 * sin(x^2/3) heraus.

Nun wollte ich es damit begründen, dass x umgeformt im Bruch und cos gegen 0 gehen und damit der Grenzwert 0 ist.

In der Musterlösung wird aber nochmals l'Hospital angewendet. Das Ergebnis sieht dann fast genauso aus, nur dass statt Sinus der Cosinus dort steht. -4/3 * x^(1/3) * cos(x^(2/3)).

Wieso muss ich jetzt 2 mal l'Hospital anwenden? Wieso kann ich nicht schon nach dem ersten mal Ableiten den Grenzwert begründen?

Answer 1

Hallo

mit x^-1/3 hast du doch 1/x^1/3 also wieder 0/0 also hast du keinen GW. der Satz " das x umgeformt im bruch und cos gegen 0 gehen" ist für mich unverständlich

Gruß lul