Grenzwertberechnung - L'Hospital

Question

Aufgabe:

Grenzwertberechnung (L'Hospital)

Hallo. Ich habe hier eine Aufgabe zur Grenzwertberechnung. Die Lösung und den Rechnungsweg habe ich bereits, jedoch weiß ich nicht wie mein Dozent beim ersten Schritt vorgegangen ist. Bevor er hier differenziert hat er erstmal vereinfacht bzw. umgeschrieben. Hat er hier erweitert? Wenn ja, kann mir jemand bitte diesen Schritt ausführlich vorzeigen bitte. Gegebenenfalls sogar eine Gesetzmäßigkeit nennen, um zu erkennen, wann man sowas anwendet. Danke für Eure Mühe. LG

Der linke Ausdruck ist die Ausgangsfunktion.

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}-1-x}{x \cdot\left(e^{x}-1\right)}\right) \)

Answer 1

Hallo,

er hat den Hauptnenner gebildet, Hier liegt das Fall ∞ - ∞ vor, deswegen.

Comments

Hat er hier also eine elementare Umformung vorgenommen?

Danke

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Hat er hier also eine elementare Umformung vorgenommen?

JA so ist es.

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Das würde dann so hier aussehen richtig? Natürlich dann noch vereinfachen

Text erkannt:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{\frac{1}{e^{x}-1}}-\frac{1}{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{e^{x}-1}} \)

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Schau es Dir bei Tschaka an, ich will es nicht nochmal schreiben.

Answer 2

Aloha :)

Diese Technik nennt man "über Kreuz multiplizieren". Damit können zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern schnell addiert werden:$$\frac{a}{n}+\frac{b}{m}=\frac{a\cdot m+b\cdot n}{n\cdot m}$$Genau das hat euer Dozent gemacht:$$\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}=\frac{1}{x}+\frac{-1}{e^x-1}=\frac{1\cdot(e^x-1)+(-1)\cdot x}{x\cdot(e^x-1)}=\frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}$$

Comments

Super,