Wie komme ich bei Aufgabe h und e auf die Lösung? Grenzwertberechnung mittels De L'Hospital

Question

Bei h) soll da +- Wurzel aus 2 kommen und bei e) kommt 3 raus.

Bei beiden nach mehrmaligen Anwenden der Regeln von de L'Hospital komme ich nicht auf +- Wurzel 2.

Bei Aufgabe e) komme ich wenn auf 1/3.

Answer 1

Hallo

Zu e)

                       

Comments

Wie kommst du beim 4ten Schritt auf -3/-2 ?

Ich würde hier den Zähler sin(2x) und den Nenner sin(2x) machen.

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Ich habe den Zähler und Nenner getrennt abgeleitet

Answer 2

h) ziehe den Grenzwert in die Wurzel:

[x^2+sin(x)^2]/x^2=1+sin(x)^2/x^2=1+0/0

Wende auf den 0/0 Term 2mal Hospital an:

erstes Mal: sin(x)*cos(x)/x=0/0

zweites Mal: (cos(x)^2-sin(x)^2)/1 -->1

Also ergibt sich im Grenzwert in der Wurzel 1+1=2--> √2 ist das Ergebnis

e) tan(φ)/(tan(3φ))=∞/∞

l'hospital anwenden gibt 1/cos^2(φ)/[3*1/cos^2(3φ)] =1/3*[cos(3φ)/(cos(φ))]^2

Ziehe den Grenzwert in die Potenz hinein:

zu untersuchen bleibt cos(3φ)/(cos(φ))=0/0

l'hospital: -3*(sin(3*φ)/sin(φ)) für φ--> π/2 ergibt sich für diesen Term dann 3

das müssen wir noch hoch 2 rechnen (da wir den Grenzwert reingezogen haben) und dann mit 1/3 noch multiplizieren -->          lim φ --> π/2 tan(φ)/(tan(3φ))=1/3*3^2=3

Comments

Wie kann man denn den Grenzwert in die Wurzel ziehen ?
Ich muss hier doch die Wurzel ableiten und dann x^2+sin^2(x)

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Ich habs jetzt mal gerechnet und komme tatsächlich auf sqrt(2). Warum kann ich hier die Wurzel nicht ableiten ?

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Bei der Wurzelfunktion handelt es sich um eine stetige Funktion, das heißt, man kann den Grenzwert acuh in die Wurzel hineinziehen, das Endergebnis bleibt das gleiche.

Hier lim x-->0 √[x^2+sin^2(x)]/x

Das x im Nenner kann auch geschrieben werden als √x^2

--> lim x-->0 √[x^2+sin^2(x)]/x =lim x-->0 √[(x^2+sin^2(x))/x^2]=lim x-->0 √[1+sin^2(x)/x^2]

jetzt der Schritt mit Grenzwert reinziehen:

lim x-->0 √[1+sin^2(x)/x^2]=√[lim x-->0   1+sin^2(x)/x^2]

Das habe ich dann berechnet. Bei Aufgabe e) habe ich das ähnlich gemacht, nur das dort keine Wurzelfunktion stand, sondern eine quadratische Funktion, diese ist auch stetig.

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Wenn du die Wurzel mit nimmst in das l'hospital verfahren, reproduziert sich immer der Wurzel-Term per Ableitung. Das führt dann in eine Endlosschleife.

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Ok Leute habs soweit verstanden denke ich nur bei der e) ist mir das jetzt nicht klar.
Ich kann doch bei der e) normal zähler und nenner ableiten ? Anschliessend noch Additionssatz angewendet und dann komm ich doch auch auf 3 oder was meinst dun jetzt mit stetig von x^2

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das mit dem x^2 ist nicht so wichtig, damit habe ich nur gemeint,dass

lim φ--> π/2 [cos(3φ)/(cos(φ))]² = [lim φ-->π/2  cos(3φ)/(cos(φ))]^2