Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Anfangswertaufgabe in diesen vier Schritten:

Question

\( { y }_{ 1 }^{ ' }={ 4y }_{ 1 }-{ 3y }_{ 2 },\quad \quad \quad \quad \quad { y }_{ 1 }(0)=-1,\\ { y }_{ 2 }^{ ' }={ 2y }_{ 1 }-{ y }_{ 2 },\quad \quad \quad \quad \quad \quad { y }_{ 2 }(0)=0. \)

1)

Schreiben Sie das System in Matrixschreibweise \(y' = ay\) .

2)

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von \(A\) .

3)

Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem \(({ \phi  }_{ 1 }(x), { \phi  }_{ 2 }(x))\) .

4)

Passen Sie die allgemeine Lösung an die Anfangsbedingung an.

Comments

Es sollte eher "in diesen vier Schritten" heißen.

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EDIT: Habe das in der Überschrift so korrigiert.

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So ähnliche Fragen hat das Mitglied Icecream vor ein paar Tagen gestellt.

Vielleicht helfen dir ja die Diskussionen schon mal ein Stück weit. Z.B.: https://www.mathelounge.de/359477/reeles-fundamentalsystem-angeben-matrizen

Folge dann von dort aus bei Bedarf weiteren Links.

Answer 1

a)

y'=Ay=[(4,-3),(2,-1)]*y

b)

charakteristisches Polynom von A:

λ^2-3λ+2=0

--> λ₁=1,  λ₂=2

Eigenvektoren:

für λ₁=1: (1,1)

für λ₂=2: (1,2/3)

c)

Fundamentalsystem: [c₁*e^x*(1,1),c₂*e^{2x}*(1,2/3)]

Also: y₁(x)=c₁*e^x+c₂*e^{2x}

        y₂(x)=c₁*e^x+c₂*e^{2x}*2/3

d)

Anfangsbedingung einsetzen:

 y₁(0)=c₁+c₂=-1

   y₂(0)=c₁+c₂*2/3=0

--> c₁=2

    c₂=-3

--> y₁(x)=2*e^x-3*e^{2x}

        y₂(x)=2*e^x-2*e^{2x}

Comments

Mal eine Frage generell zu Fundamentalsystemen. Wir haben im Skript auch eine Anleitung bekommen, die Fundamentalsysteme mit der Formel exp(xA)=T*exp(xD)*T^-1 auszurechnen. Also mit D als Diagonalmatrix und T als Transformationsmatrix, die die Eigenvektoren enthält. Mit der Formel habe ich etwas anderes raus, als die angegebenen Lösungen, auch andere Werte für c₁ und c₂. Und ich wusste nicht, dass man einfach e^ax mit dem Eigenvektor multiplizieren kann, und das ist dann ein Fundamentalsystem. Geht das immer? Und sind beide Wege möglich, auch wenn verschiedene Lösungen herauskommen?

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Man berechnet das in der Regel mit den Eigenwerten und Eigenvektoren, da die Rechnung mithilfe der Exponentialmatrix meistens aufwändiger zu berechnen ist, aber die Ergebnisse sind die selben, zur Kontrolle siehe Wolfram:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Matrixexp

Als Matrix:{{4x,-3x},{2x,-1x}}

Der einzige Unterschied zu meiner Lösung sind die Vorfaktoren,welche aber nur Vielfache von meinen sind,aber die Spalten entsprechen genau den Fundamentallösungen, die ich auch heraus habe. Daher kommt auch, dass deine c₁ und c₂ etwas anders aussehen. Aber mit den Anfangsbedingungen eingesetzt muss am Ende auch

y₁(x)=2*e^x-3*e^2x

y₂(x)=2*e^x-2*e^2x

dastehen, die Probe bestätigt diese Lösung.

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alles klar, vielen dank! ich habe dann wohl immer einen zu komplizierten Weg gewählt. Inzwischen habe ich nochmal alles überprüft und habe die selben y1 und y2 heraus, die Lösungen stimmen also überein.

Dieser Weg über die Eigenvektoren funktioniert aber nur, solange es zwei verschiedene Eigenwerte und Eigenvektoren gibt, oder?

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Ja,da gibt es auch Spezialfälle,z.B wenn die EIgenwerte komplex sind oder eine höhere Vielfachheit haben.

Hier kannst du was dazu nachlesen:

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~bernstei/HMII_SS2009/Dglsys.pdf (ab Seite 129)

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Vielen Dank für die Hilfe, ich werde dort mal nachlesen