Grenzwertberechnung mit de l'Hospital

Question

Hallo....

Eigentlich dachte ich, das ich mich mit den Satz von de l'Hospital auskenne allerdings sitze ich gerade an einem Beispiel und komm nicht weiter.

Die erste Ableitung einer Funktion lautet: [x/1+x - ln(1+x)]/x²  So weit so gut....

Nun soll ich mit de l'Hospital den Grenzwert errechnen. Der ist bei mir 1/2 sollte aber -1/2 sein. In der Lösung steht nämlich nach erstmaligen benutzens des Satzes [1/(1+x)² -1/1+x]/2x

Ich verstehe nicht ganz wie man auf das Ergebnis kommt, da hier scheinbar die Quotientenregel benutzt wurde und diese beim Satz von de l'Hospital doch gar nicht verlangt wird. Sollte nicht eigentlich (1-1/1+x)/2x herauskommen?

Ich hoffe es kann mir wer helfen.

Lg

Answer 1

[x/(1+x) - ln(1+x)]/x² 

Der erste Teil des Zählers ist x/(1+x)

und das gibt beim Ableiten 1/(1+x)²

( da muss man schon die Quot.regel anwenden)

Nur für den gesamten Bruch muss-soll-darf man

Zähler und Nenner getrennt ableiten.

und stimmt es:

[1/(1+x)² -1/(1+x)]/2x

Comments

Also heißt das bei einen Doppelbruch muss ich die einzelnen Brüche in Zähler und Nenner mit der Quotientenregel ableiten? ich komme leider trotzdem nicht auf das richtige Ergebnis von -1/2.

Und ja das Stimmt.

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hast vielleicht einen Rechenfehler, ich bekomme

[1/(1+x)² -1/(1+x)]/2x   erst mal gleiche Nenner im Zähler

= [1/(1+x)² -(x+1)/(1+x)^2]/2x

=[ -x/(1+x)^2]/2x

= -x/((1+x)^2]*2x)    kürzen

= -1/((1+x)^2*2)

und für x gegen 0 geht das gegen -1/2

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Vielen dank, war tatsächlich ein Rechenfehler!