Aloha :)
Wir definieren eine Hilfsfunktion:
$$h(x)\coloneqq\frac{\cos(x)}{x+\cos(x)}=\frac{x+\cos(x)-x}{x+\cos(x)}=\frac{x+\cos(x)}{x+\cos(x)}-\frac{x}{x+\cos(x)}=1-\frac{x}{x+\cos(x)}$$
Die Cosinus-Funktion nimmt nur Werte aus \([-1;1]\) an.
Weiter reicht es wegen der Grenzwertbildung aus, nur den Fall \(x>1\) zu betrachten:
$$-1\le\cos(x)\le1\stackrel{+x}{\implies} x-1\le x+\cos(x)\le x+1\stackrel{x>1}{\implies}\frac{1}{x-1}\ge\frac{1}{x+\cos(x)}\ge\frac{1}{x+1}$$$$\stackrel{\cdot(-x)}{\implies}-\frac{x}{x-1}\le-\frac{x}{x+\cos(x)}\le-\frac{x}{x+1}\stackrel{+1}{\implies}1-\frac{x}{x-1}\le h(x)\le1-\frac{x}{x+1}$$
Mit L'Hospital folgen nun die Grenzwerte der Brüche:$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{x\pm1}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{1}=1$$
sodass wir gefunden haben:$$0=\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\frac{x}{x-1}\right)\le\lim\limits_{x\to\infty}h(x)\le\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\frac{x}{x+1}\right)=0\quad\implies$$$$\lim\limits_{x\to\infty}h(x)=0$$