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Aufgabe:

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{cos(x)}{x+cos(x)}$$


Problem/Ansatz:

Wie berechne ich hier den Grenzwert mit der Regel von L'Hospital?

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Beste Antwort

Hier ein Weg mit dem "Sandwich-Theorem" (Einschließungssatz):

$$0\leq\left|\frac{\cos x}{x+\cos x}\right|=\frac 1{\left|x\right|} \frac{|\cos x|}{\left|1+\frac{\cos x}{x}\right|}\stackrel{}{\leq}\frac 1{\left|x\right|} \frac{1}{\left|1+\frac{\cos x}{x}\right|}\stackrel{x\to\infty}{\longrightarrow}0\cdot \frac 1{1+0}=0$$

L'Hospital darf hier nicht verwendet werden, da die Ableitung der Nennerfunktion

\(1-\sin x\)

auf \((0,\infty)\) unendlich oft 0 wird. Um aber L'Hospital verwenden zu dürfen, darf die Ableitung der Nennerfunktion ab einer bestimmten Stelle an nicht mehr Null werden.

Avatar von 11 k

In dubio lieber ein Sandwich in der Hand in der Praxis als das Sandwich-Theorem in der Theorie.

Von dem einem kann man gefahrlos runterbeißen, am anderen sich vlt. die Zähne ausbeißen einschließlich der Goldkrone(n) :)

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Regel von L'Hospital funktioniert hier nicht, weil \(\cos\) weder gegen 0 konvergiert, noch bestimmt divergiert.

Avatar von 107 k 🚀
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Aloha :)

Wir definieren eine Hilfsfunktion:

$$h(x)\coloneqq\frac{\cos(x)}{x+\cos(x)}=\frac{x+\cos(x)-x}{x+\cos(x)}=\frac{x+\cos(x)}{x+\cos(x)}-\frac{x}{x+\cos(x)}=1-\frac{x}{x+\cos(x)}$$

Die Cosinus-Funktion nimmt nur Werte aus \([-1;1]\) an.

Weiter reicht es wegen der Grenzwertbildung aus, nur den Fall \(x>1\) zu betrachten:

$$-1\le\cos(x)\le1\stackrel{+x}{\implies} x-1\le x+\cos(x)\le x+1\stackrel{x>1}{\implies}\frac{1}{x-1}\ge\frac{1}{x+\cos(x)}\ge\frac{1}{x+1}$$$$\stackrel{\cdot(-x)}{\implies}-\frac{x}{x-1}\le-\frac{x}{x+\cos(x)}\le-\frac{x}{x+1}\stackrel{+1}{\implies}1-\frac{x}{x-1}\le h(x)\le1-\frac{x}{x+1}$$

Mit L'Hospital folgen nun die Grenzwerte der Brüche:$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{x\pm1}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{1}=1$$

sodass wir gefunden haben:$$0=\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\frac{x}{x-1}\right)\le\lim\limits_{x\to\infty}h(x)\le\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\frac{x}{x+1}\right)=0\quad\implies$$$$\lim\limits_{x\to\infty}h(x)=0$$

Avatar von 152 k 🚀

Man muss nur die entscheidende Idee haben, sonst verzweifelt man.

Kompliment an den Helfer und die schöne (Form der) Lösung. :)

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