Grenzwertberechnung mit L'Hospital

Question

Aufgabe:

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{cos(x)}{x+cos(x)}$$

Problem/Ansatz:

Wie berechne ich hier den Grenzwert mit der Regel von L'Hospital?

Answer 1

Hier ein Weg mit dem "Sandwich-Theorem" (Einschließungssatz):

$$0\leq\left|\frac{\cos x}{x+\cos x}\right|=\frac 1{\left|x\right|} \frac{|\cos x|}{\left|1+\frac{\cos x}{x}\right|}\stackrel{}{\leq}\frac 1{\left|x\right|} \frac{1}{\left|1+\frac{\cos x}{x}\right|}\stackrel{x\to\infty}{\longrightarrow}0\cdot \frac 1{1+0}=0$$

L'Hospital darf hier nicht verwendet werden, da die Ableitung der Nennerfunktion

\(1-\sin x\)

auf \((0,\infty)\) unendlich oft 0 wird. Um aber L'Hospital verwenden zu dürfen, darf die Ableitung der Nennerfunktion ab einer bestimmten Stelle an nicht mehr Null werden.

Comments

In dubio lieber ein Sandwich in der Hand in der Praxis als das Sandwich-Theorem in der Theorie.

Von dem einem kann man gefahrlos runterbeißen, am anderen sich vlt. die Zähne ausbeißen einschließlich der Goldkrone(n) :)

Answer 2

Regel von L'Hospital funktioniert hier nicht, weil \(\cos\) weder gegen 0 konvergiert, noch bestimmt divergiert.

Answer 3

Aloha :)

Wir definieren eine Hilfsfunktion:

$$h(x)\coloneqq\frac{\cos(x)}{x+\cos(x)}=\frac{x+\cos(x)-x}{x+\cos(x)}=\frac{x+\cos(x)}{x+\cos(x)}-\frac{x}{x+\cos(x)}=1-\frac{x}{x+\cos(x)}$$

Die Cosinus-Funktion nimmt nur Werte aus \([-1;1]\) an.

Weiter reicht es wegen der Grenzwertbildung aus, nur den Fall \(x>1\) zu betrachten:

$$-1\le\cos(x)\le1\stackrel{+x}{\implies} x-1\le x+\cos(x)\le x+1\stackrel{x>1}{\implies}\frac{1}{x-1}\ge\frac{1}{x+\cos(x)}\ge\frac{1}{x+1}$$$$\stackrel{\cdot(-x)}{\implies}-\frac{x}{x-1}\le-\frac{x}{x+\cos(x)}\le-\frac{x}{x+1}\stackrel{+1}{\implies}1-\frac{x}{x-1}\le h(x)\le1-\frac{x}{x+1}$$

Mit L'Hospital folgen nun die Grenzwerte der Brüche:$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{x\pm1}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{1}=1$$

sodass wir gefunden haben:$$0=\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\frac{x}{x-1}\right)\le\lim\limits_{x\to\infty}h(x)\le\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\frac{x}{x+1}\right)=0\quad\implies$$$$\lim\limits_{x\to\infty}h(x)=0$$

Comments

Man muss nur die entscheidende Idee haben, sonst verzweifelt man.

Kompliment an den Helfer und die schöne (Form der) Lösung. :)