Aloha :)
Die kritischen Punkte der Funktion$$f(x;y)=x^2y-2xy+\frac34e^y$$sind die Nullstellen des Gradienten:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{\partial_xf}{\partial_yf}=\binom{2xy-2y}{x^2-2x+\frac34e^y}=\binom{2y(x-1)}{(x-1)^2+\frac34e^y-1}$$
Aus dere Gleichung für die erste Koordinate folgt:\(\quad y=0\;\lor\;x=1\)
Für die Gleichung der zweiten Koordinate machen wir daher ein Fallunterscheidung:
1. Fall: \(y=0\)
Die zweite Koordinatengleichung lautet in diesem Fall:$$0\stackrel!=(x-1)^2-\frac14\implies(x-1)^2=\frac14\implies x-1=\pm\frac12\implies x=\frac12\;\lor\;x=\frac32$$
2. Fall \(x=1\)
Die zweite Koordinatengleichung lautet nun:$$0\stackrel!=\frac34e^y-1\implies\frac34e^y=1\implies e^y=\frac43\implies y=\ln\frac43$$
Insgesamt haben wir also 3 kritische Punkte gefunden:$$K_1\left(\frac12\bigg|0\right)\quad;\quad K_2\left(\frac32\bigg|0\right)\quad;\quad K_3\left(1\bigg|\ln\frac43\right)$$
Den Typ der kritischen Punkte erhalten wir mit Hilfe der Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\left(\begin{array}{cc}\partial_{xx}f(x;y) & \partial_{yx}f(x;y)\\\partial_{xy}f(x;y) & \partial_{yy}f(x;y)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2y & 2x-2\\2x-2 & \frac34e^y\end{array}\right)$$
Wir setzen unsere kritischen Punkte ein und erhalten die Matrizen:$$H_1=\left(\begin{array}{cc}0 & -1\\-1 & \frac34\end{array}\right)\quad;\quad H_2=\left(\begin{array}{rr}0 & 1\\1 & \frac34\end{array}\right)\quad;\quad H_3=\left(\begin{array}{cc}2\ln\frac43 & 0\\0 & 1\end{array}\right)$$
Die Eigenwerte von \(H_1\) und \(H_2\) sind dieselben, nämlich \(\frac{3\pm\sqrt{73}}{8}\). Sie haben unterschiedliche Vorzeichen, daher sind die Hesse-Matrizen indefinit.
Die Eigenwerte von \(H_3\) lauten \(2\ln\frac43\) und \(1\) und sind positiv, d.h \(H_3\) ist positiv definit.
Wir haben also zwei Sattelpunkte \(K_1\) und \(K_2\) und ein Minimum \(K_3\).
