Gradient und HesseMatrix - Richtungsableitung + lokales Maximum bestimmen

Question

Sei für einen reellen Parameter a > 0 die Funktion f(x, y) = (x + y)(x + 3a)y gegeben.

(a) Bestimmen Sie die Richtungsableitung im Punkt (−a, a) in Richtung des Vektors (3,4)^T und vergleichen
Sie diese mit dem Betrag des Gradienten in diesem Punkt!
(b) Untersuchen Sie, ob die Funktion bei (x, y) = (−2a, a) ein lokales Maximum hat

Mein Ansatz:

Zuerst habe die Klammern berechnet, sowie den Gradienten, die Hessematrix und den normierten Vektor bestimmt

f(x,y)= x²y+3axy+y²x+3ay²

grad f(x,y) = \( \begin{pmatrix} 2xy+3ay+y^2\\x^2+3ax+2yx+6ay \end{pmatrix} \) = \( \frac{y(2x+3a+y)}{(x+3a)(2y+x)} \)

H_f(x,y)= \( \begin{pmatrix} 2y & 2x+3a+2y \\ 2x+3a+2y & 2x \end{pmatrix} \)

Normierter Vektor \( \sqrt{3^2+4^2} \) = 5      -->    \( \begin{pmatrix} 3/5\\4/5 \end{pmatrix} \)

Weiter komme ich nicht, weder aufgabe a) noch b)
Bei a) habe ich probiert den Punkt in den Gradienten einzusetzen und das skalarprodukt mit dem Vektor zu bilden, leider sehe ich keinen Zusammenhang wenn ich das mit dem Betrag vergleiche
Zu b) ich müsste da ja was im Gradienten null setzen um x und y rauszubekommen aber ich hänge da irgendwie

Answer 1

Zu a) Habt Ihr Richtungsableitung nur für normierte Vektoren definiert? Ist mMn nicht sehr verbreitet. Zur Kontrolle beim Vergleich: Beide sind Vielfache von a^2. Und was soll der Bruch hinter dem Gradienten?

Zu b) Du sollst nicht Extrema suchen (dazu würde man den Gradienten =0 setzen), sondern nur, ob an dieser einer vorgegebene Stellen ein lok. Min. vorliegt. Da freut man sich doch, dass man die mutmaßliche Stelle schon kennt, und prüft bez. Gradienten nur noch was nach?

Comments

Das soll kein Bruch sein, habe es wohl falsch formatiert und kann es nicht mehr ändern. Ich hab einfach nur die Terme im Gradienten etwas umgeformt, aber ist wahrscheinlich gar nicht nötig

Also für den Betrag erhalte ich jetzt:

\( \sqrt{-2a^2+3a^2+a^2+a^2-3a^2-2a^2+6a^2} \) = \( \sqrt{4a^2} \) = 2a

und für die Richtungsableitung

\( \frac{-6+9+3+4-12-8+24}{5} \) a² = 14/5 a²

b)  \( \begin{pmatrix} 2a & a \\ a & -4a \end{pmatrix} \) 
Die Determinante ist -9a² und da das negativ ist, müsste es doch indefinit und somit ein Sattelpunkt sein oder?

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Zu a) Hast Du die Def. der R-Ableitung in Deinen Vorlesungsunterlagen geprüft? Selbst wenn man nur normierte Vektoren betrachtet, ist es einfacher, den Normierungsfaktor erst am Ende der Ableitungsberechnung einzubringen. Der drückt sich ja in die Ableitung durch. Zum Betrag des Gradienten: Rechne den Gradienten doch erstmal aus und vereinfache. Dann erst den Betrag. Vergiss dabei das Quadrieren nicht.

Zu b) Den Gradienten von (-2a,a) hast Du geprüft? Deine Hesse-Matrix stimmt nicht, da fehlt rechts unten ein +6a.

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Danke für den Tipp, das ist viel einfacher und übersichtlicher (:

\( \begin{pmatrix} -2a^2+3a^2+a^2\\a^2-3a^2-2a^2+6a^2 \end{pmatrix} \) =  \( \begin{pmatrix} 2a^2\\2a^2 \end{pmatrix} \)

Betrag \( \sqrt{2a^2+2a^2} \) = 2a

\( \begin{pmatrix} 2a^2\\2a^2 \end{pmatrix} \) ο  \( \begin{pmatrix} 3/5\\4/5 \end{pmatrix} \) = 14/5 a²

b) oh das habe ich übersehen. \( \begin{pmatrix} 2a & a \\ a & 2a \end{pmatrix} \) 
Determinante ist 4a²-a²=3a²
Somit positiv definit und ein lokales minimum

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Oh moment ich muss (-2,a) noch in den Gradienten einsetzen

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b) ist richtig. Aha, den Gradienten prüfst Du noch, gut.

a) Gradient stimmt. Aber ich sagte noch, vergiss das Quadrieren nicht...

Und einfacher ist es, wenn man erkennt, dass der Gradient \(2a^2\binom11\) ist.

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a) Jaaa.. das hab ich nicht ganz verstanden, was soll ich denn da quadrieren? 2a= 4a² oder was meinst du genau

b) Der Gradient wird 0. Wenn der Gradient die Ableitung darstellt und die Ableitung null ergibt, habe ich an der Stelle eine Steigung von 0?

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b) Ja, Gradient ist Nullvektor und Hesse-Matrix pos. def., damit ist alles geklärt.

a) Wie hast Du denn den Betrag von (3,4)^T ausgerechnet, ging das ohne Quadrieren? Glaub ich nicht.

Und offen ist nach wie vor: Wie ist in Deiner Vorlesung die Richtungsableitung definiert? Nur für normierte Richtungen?

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Ohh das hab ich voll übersehen

\( \sqrt{(2a^2)^2+(2a^2)^2} \) = \( \sqrt{8a^4} \) = 2√2 a²

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Oder die Kurzversion: \(\|2a^2\binom11\| = 2a^2\cdot \|\binom11\| = 2a^2\sqrt2\), das geht sogar ohne Quadrieren ;-)

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Ich habe es in meinen Unterlagen rausgesucht:

"Die partiellen Ableitungen sind gerade die Richtungsableitungen in Richtung der Einheitsvektoren"

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Das ist überall so einheitlich. Ist aber keine Def. der Richtungsableitung. Und "Einheitsvektor" ist was anderes als "Länge 1". Wie ist die Def. der RA?

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Danke für die Hilfe und Mühe!

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Hmm, das ist leider das einzige was ich zu Richtungsableitungen im Skript stehen habe.. ich suche nochmal gründlicher einen Moment

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Es sei \( \vec{v} \)  ∈ R^m mit ||\( \vec{v} \)|| = 1 gegeben.

Der Grenzwert ∂f\( \vec{a} \) / ∂\( \vec{v} \) =

lim \( \frac{f(a+hv)-f(a)}{h} \)
h→0

heißt die Richtungsableitung von f im Punkt \( \vec{a} \) in Richtung \( \vec{v} \)

Im bruch sollen a und v auch vektoren sein

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Gut, die Stelle meinte ich. Dann ist es so und Du hast alles richtig gemacht.

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Okay, Dankeschön!!