Gradient spezielle Richtungsableitung?

Question

Ich habe mal eine Frage zur Richtungsableitung und zum Gradienten. Und zwar würde ich gerne wissen, ob man den Gradient als eine spezielle Richtungsableitung in Richtung der Koordinatenachsen auffassen kann.

Im Internet habe ich da leider nichts wirklich aussagekräftiges zu gefunden. Vielleicht finde ich meine Antwort ja hier :-)

Freundliche Grüße.

Answer 1

Der Gradient zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs einer Funktion. Die Norm \(||\nabla f||\) ein ein Maß für Steilheit. Es gilt:$$||\nabla f(a)||=\max \{\partial _v f(a)  ; v\in \mathbb{R}^n , ||v||=1\}$$ Die Norm des Gradienten an einer Stelle \(a\) kannst du also als Richtungsableitung in diejenige Richtung (ausgehend von \(a\)) des größten Anstiegs interpretieren. Der Gradient selbst ist ja ein Vektor, die Richtungsableitung ein Skalar.

Zum Gradienten:

Comments

Dankeschön für die schnelle Antwort :-)

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Hallo racine_carrée,

können Sie mir vielleicht noch beantworten, ob es sich bei den partiellen Ableitungen d_xf, d_yf, etc. um spezielle Richtungsableitungen handelt, oder ist der Begriff dafür falsch?

Freundliche Grüße :-)

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Beispiel im \(\mathbb{R}^3\):

Die Partielle Ableitung in y-Richtung \(\partial _y f\) ist einfach eine Richtungsableitung in Richtung \(v=\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\)

Eine Partielle Ableitung ist eine Sonderform der Richtungsableitung, nämlich mit dem Richtungsvektor in eine Richtung der Standardbasisvektoren.

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Alles klar, das hilft mir gut weiter :-)

Lieben Dank und einen schönen Abend