Lokalen Extrema bestimmen, Hessematrix/Gradient

Question

Aufgabe:

Es sei \( A=\left[\begin{array}{ll}a_{11} a_{12} & \\ a_{12} a_{22}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2,2} \) eine symmetrische und positiv definite Matrix und \( \vec{b} \in \mathbb{R}^{2} . \) Weiter sei die Funktion

\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad \vec{x} \mapsto\left\langle\vec{x}, \frac{1}{2} A \vec{x}+\vec{b}\right\rangle \)

gegeben.

(i) Bestimmen Sie \( \nabla f(\vec{x}) \)
(ii) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von \( f \)
(iii) Berechnen Sie die Taylorentwicklung 2. Ordnung von \( f \) im Entwicklungspunkt \( \overrightarrow{x_{0}}=-A^{-1} \vec{b} \) und berechnen Sie den Fehler.
(iv) Sei ferner \( a_{12}=0 . \) Prüfen Sie, ob die gefundenen lokalen Extrema auch globale Extrema sind.

Hallo, ich komme gerade bei 2ii) nicht weiter. Ich habe den Gradienten bestimmt = (a₁₁x+a₁₂y+b₁ , a₁₂x+a₂₂y+b₂ ) und auch die Hessematrix = \( \begin{pmatrix} a11 & a12 \\ a12 & a22 \end{pmatrix} \).

Normalerweise müsste ich ja den Gradienten 0 setzen um die kritischen Punkte zu bekommen und diese dann in der Hessematrix einsetzen um dann zu gucken ob die Determinanten postiv definit sind, aber durch die a und b Werte komme ich zu keinem Ergebnis.

Und bei 2iii) Ist A^-1=A^T?

Kann mir da jemand helfen? Dankeschön.

Answer 1

Guten Tag Freunde der Analysis 2,

Hab jetzt auch ewig an der Aufgabe rumgeforscht und bin zum Ergebnis gekommen, das es suboptimal ist die Matrix sowie die vektoren aufzusplitten. Denkt euch bitte Vektorpfeile, keine Ahnung wie so etwas hier gehen soll.

Rechnet das anfängliche skalarprodukt als wären die vektoren und Matrizen schlicht weg Variablen. 

Nehmt als Gradienten lieber grad(x)f=Ax+b (steht nach Umformung eigentlich auch schon so bei dir) Als hessematrix kann man dann Ax+b ableiten und erhält nach Ana 1 regeln nur noch (A)

Desweiteren sind alle Extrema Minima, da ja als Hessematrix=A ist. Diese ist positiv definit und somit sind alle Minima.

Und denkt dran das A^-1*A = I (Inverse) ist und somit dann rausfällt. A^-1 ist aufjeden fall nicht A^T

Sorry für die etwas überhetzte Antwort, aber sind ja noch paar Aufgaben bis 18:00 auch für mich.

Ich hoffe ich konnte helfen und das nicht zu spät.

Viel erfolg euch!