Grenzwerte und L'Hospital Problem

Question

die zugrunde liegende Aufgabe, beinhaltet einen Widerspruchsbeweis der erbracht werden soll. Es geht um den Term:

f=2ⁿ⁺²-0,8n³+4n, es gilt hierbei zu beweisen, dass dieser Term schneller gegen unendlich läuft als ein anderer gegebener Term g mit g=c*n^k+d, bzw. dass der Term g nicht als Obergrenze für den Term f gelten kann. Ich habe auch bereits einen existierenden Beweis, jedoch gab man mir noch den Tipp die Regel nach L'Hospital anzuwenden, welche ich nun der Vollständigkeit halber auch gerne anwenden würde. Vorab nochmal: n,k∈ℕ_>0 und c,d∈ℝ

Mein Gedanke war nun einfach, f/g zu schreiben und n gegen unendlich laufen zu lassen, den Bruch bis zu einem unbestimmten Ausdruck umformen, f und g abzuleiten, dann wieder n gegen unendlich laufen zu lassen im Term f'/g' und zu schauen ob der Term dann gegen unendlich konvergiert, was bedeuten würde dass g' langsamer gegen unendlich läuft als f' und somit wäre der Beweis erbracht. Jedoch weiß ich nicht genau, wie ich das Beschriebene durchzuführen habe. Danke schon einmal für eure Hilfe

Nachtrag aus Kommentar: k:=2.

Comments

Sry, k ist als 2 definiert. Das hatte ich noch vergessen

Answer 1

Hi,

Du kannst

h(n) = 2^{n+2} schreiben als h(n) = e^2ln(n+2) schreiben.

Das ist eine e-Funktion die beliebig oft abgeleitet werden kann. Beim Rest haben wir Polynome. Können also nur endlich mal differenziert werden. Folglich strebt das ganze für n→∞ auch insgesamt gegen ∞.

 

Das aufzuschreiben spare ich mir jetzt vollens. Mit dem Hinweis bzgl h(n) sollte das, falls noch erwünscht, vollens einfach gehen :).

 

Grüßle