Gegeben ist die Kurvenschar fa(x)= e^{x} -ax* e^{x} ; a>0.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Kurvenschar f_a(x)=\( e^{x} \) -ax*\( e^{x} \) ; a>0.

a) Führen Sie eine Kurvendiskusion von f_a durch.

b) Zeichnen Sie die Graphen von f₁ (-3 ≤ x ≤ 1,5) und von f_0,5 (-3 ≤ x ≤ 2,5) in ein System.

c) Welche Scharfunktion f_a hat einen Wendepunkt an der Stelle x = 3?

d) Welche Scharfunktion schneidet die y-Achse unter einem Winkel von 30°?

Problem/Ansatz:

Die Nullstelle habe ich schon berechnet: x = 1/a, jedoch muss ich jetzt Ableiten und das fällt mir schwer.
Ich weiß, dass man für den Teil -ax*\( e^{x} \) die Produktregel:
g(x) = -ax; g'(x) = -a
h(x) = \( e^{x} \); h'(x) = \( e^{x} \)

anwenden muss Jetzt weiß ich aber nicht genau, wie man das vordere \( e^{x} \) ableitet bzw. handhabt.

Ich dachte zuerst da es ja \( e^{x} \) ist bleibt es gleich deswegen habe ich geschrieben:

f_a'(x) = \( e^{x} \) (-a * \( e^{x} \) + (-ax) * \( e^{x} \))

Jedoch scheint das nicht die Lösung zu sein, da es im Grafikrechner nicht mit dem richtigen Ergebnis übereinstimmt.

Vielleicht kann mit jemand bei den Ableitungen helfen.
LG Finn

Answer 1

Funktion & Ableitungen

fa(x) = e^x - a·x·e^x = e^x·(1 - a·x)

Produktregel [u·v]' = u'·v + u·v'

fa'(x) = [e^x]'·(1 - a·x) + e^x·[(1 - a·x)]' = e^x·(1 - a·x) + e^x·(- a) = e^x·(- a·x - a + 1)

Produktregel [u·v]' = u'·v + u·v'

fa''(x) = [e^x]'·(- a·x - a + 1) + e^x·[(- a·x - a + 1)]' = e^x·(- a·x - a + 1) + e^x·(- a) = e^x·(- a·x - 2·a + 1)

Comments

Kannst du vielleicht nochmal sagen, welche Regel du verwendet hast?
Könnte man nicht die Faktorregel verwenden, wenn man \( e^{x} \) als Faktor und (1-ax) als g(x) nimmt? Also dann \( e^{x} \) * g'(x)??

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Kannst du vielleicht nochmal sagen, welche Regel du verwendet hast?

Ich verwende die Produktregel: [u·v]' = u'·v + u·v'

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Okay vielen Dank.

Answer 2

f (x) =e^{x} - a *x* e^{x}
u = e^x
u ´= e^x
v = a * x* e^{x}
Produktregel
v ´ =  a * ( 1 * e^x + x * e^x )
v ´ =  a * e^x * ( 1 + x )

f ´( x ) = e^x - a * e^x * ( 1 + x )
f ´( x ) = e^x * ( 1 - a * ( 1 + x ) )
oder
f ´( x ) = e^x * ( 1 - a   - ax )

Comments

Geht auch einfacher
f (x) = e^x - a *x* e^x
f ( x ) = e ^x * ( 1-ax)
Produktregel
f ´( x ) = e^x * ( 1-ax)  + e^x * ( -a)
f ´( x ) = e^x * ( 1-ax)  + e^x * ( -a)
f ´( x ) = e^x * ( 1-ax -a )

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Okay also auch die Produktregel, danke.