0 Daumen
7,4k Aufrufe
Gegeben ist die Kurvenschar fa(x)=ax+e^{-x}  , a > 0


a) Berechnen sie fa' (x) & fa'' (x)

b) Berechenen sie extrem - und wendepunkte

c) skizzieren sie den graphen für f1 und f2 für -2 ≤ x ≤ 3

d) wie lautet die tangente an fa im schnittpunkt mit der y achse

e) Bestimme eine Stammfunktion Fa von fa

f) gesucht ist der Inhalt der Fläche Aa , die im 1. Quadranten zwischen dem graphen fa und

dem graphen ga(x)=a+e^{-x} und der y achse liegt . Für welchen wert von a hat diese fläche den inhalt 1 ?


Lösungen mit rechenweg wären super, danke schonmal.
Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Ich habe mal eine Lösung unter folgendem Link bereitgestellt: https://docs.google.com/document/d/1UietaqhnJDiiyYtv3feZwmaArib13BxPMIWFHS-SEXQ/pub

Kurvenschar fa(x) = a·x + e^{-x} , a > 0

 

a) Berechnen Sie fa'(x) und fa''(x).

 

fa(x) = a·x + e^{-x}

fa'(x) = a - e^{-x}
fa''(x) = e^{-x}

 

b) Berechnen Sie Extrem- und Wendepunkte.

 

Extremstellen fa'(x) = 0
a - e^{-x} = 0

x = - ln(a)

 

fa(- ln(a)) = a - a·ln(a)
fa''(- ln(a)) = a > 0 --> Tiefpunkt

Wendestellen fa''(x) = 0
e^{-x} = 0

 

Die e-Funktion wird nie Null, daher gibt es keine Wendepunkte.

 

c) Skizzieren Sie den Graphen für f1 und f2 im Intervall -2 ≤ x ≤ 3.

skizze

 

d) Wie lautet die Tangente an fa im Schnittpunkt mit der Y-Achse?

 

xs = 0

fa(xs) = fa(0) = 1
fa'(xs) = fa'(0) = a - 1

 

t(x) = fa'(xs)·(x - xs) + fa(xs) = (a - 1)·(x - 0) + 1 = (a - 1)·x + 1

 

e) Bestimme eine Stammfunktion Fa von fa.

 

fa(x) = a·x + e^{-x}
Fa(x) = 1/2·a·x^2 - e^{-x}

 

f) Gesucht ist der Inhalt der Fläche Aa , die im 1. Quadranten zwischen dem Graphen fa und dem Graphen ga(x) = a + e^{-x} und der Y-Achse liegt. Für welchen Wert von a hat diese Fläche den Inhalt 1?

 

da(x) = ga(x) - fa(x) = (a + e^{-x}) - (a·x + e^{-x}) = a - a·x
Da(x) = a·x - a/2·x^2

 

da(x) = 0
a - a·x = 0
x = 1

 

∫ (0 bis 1) da(x) dx = Da(1) - Da(0) = a/2 = 1
a = 2

Avatar von 487 k 🚀
was ist mit dem xs gemeint ?
Die Stelle an der die Tangente bestimmt werden soll. Da es auf der Y-Achse ist ist xs = 0
Woher weiß man, dass der Inhalt von 0 bis 1 gesucht ist?

Bedeutet "Für welchen Wert von a hat diese fläche den Inhalt 1", dass der Inhalt 1 Einheit groß ist UND sich im Bereich von 0 bis 1 befindet?

wie hast du bei der letzten aufgabe f für da(x)=0, 1 für x herausbekommen.

Schnittpunkt der Funktionen bei
da(x) = 0
da ( x ) = a - ax
a - a·x = 0
a * ( 1 - x ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
a = 0
und
1 - x = 0
x = 1

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community