Parameter a der Kurvenschar fa(x)= 1/4(x^4-ax^2) damit x=1 eine Wendestelle ist?

Question

Der Parameter der Kurvenschar f_a(x)= 1/4(x⁴-ax²) soll gewählt werden , dass der Graph bei x=1 einen Wendepunkt hat.

Wie lauten dann die Koordinaten des zweiten Wendepunktes ?

und

Wo liegen die Wendepunkte von f_a überhaupt?

und Wie kann ich dazu eine Gleichung einer Wendetangenten aufstellen?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wendetangente berechnen eine Schar

Stichworte: wendetangente

ich habe folgende Frage.

Und zwar bin ich auf eine Aufgabe gestoßen,bei der ich nicht weiterkomme.

Diese lautet:

Gegeben ist die Kurvenschar fa(x)=1/4(x^4-ax^2).

a) Der Parameter a dieser Schar soll so gewählt werden, dass der Graph bei x=1 einen Wendepunkt hat. Wie lauten dann die Koordinaten des zweiten Wendepunktes.

b) Wo liegen die Wendepunkte von fa? Stellen sie die Gleichung der Wendetangente auf.

Wie gehe ich bei solchen Aufgaben vor?

Ich würde mich freuen über eure Hilfe!

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Vom Duplikat:

Titel: Wendetangente berechne (Schar)

Stichworte: wendetangente

ich habe folgende Frage.

Und zwar bin ich auf eine Aufgabe gestoßen,bei der ich nicht weiterkomme.

Diese lautet:

Gegeben ist die Kurvenschar fa(x)=1/4(x^4-ax^2).

a) Der Parameter a dieser Schar soll so gewählt werden, dass der Graph bei x=1 einen Wendepunkt hat. Berechne Koordinaten.

b) Stellen sie die Gleichung der Wendetangente auf.

Wie gehe ich bei solchen Aufgaben vor?

Ich würde mich freuen über eure Hilfe!

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Ich sehe ehrlich gesagt keinen Grund, diese Frage zu löschen oder sonst irgendwie zu entführen, nur weil jemand vor 5 Jahren eine ähnliche Frage hatte...

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Der Fragesteller könnte statt neu zu Fragen sich lieber die Lösung durchlesen und bei Klärungsbedarf noch nachfragen. Ich denke das macht mehr Sinn als Gleiche Fragen immer wieder zu beantworten.

Answer 1

fa(x)= 1/4·(x^4 - a·x^2) = 0.25·x^4 - 0.25·a·x^2

fa'(x) = x^3 - 0.5·a·x

fa''(x) = 3·x^2 - 0.5·a

Wenn der Graph bei 1 einen Wendepunkt hat gilt fa''(1) = 0

3·1^2 - 0.5·a = 0
a = 6

fa(1) = 0.25·1^4 - 0.25·6·1^2 = -1.25

Die Wendepunkte liegen dann bei WP(±1; -1.25)

 

Wendepunkte generell fa''(x) = 0

3·x^2 - 0.5·a = 0
x = ±√(a/6)

fa(√(a/6)) = 0.25·(√(a/6))^4 - 0.25·a·(√(a/6))^2 = - 5/144·a^2

fa'(√(a/6)) = (√(a/6))^3 - 0.5·a·(√(a/6)) = - √6/18·a^{3/2}

Damit lautet die allgemeine Gleichung der Wendetangente

tw1(x) = - √6/18·a^{3/2} * (x - √(a/6)) - 5/144·a^2

 

Die Gleichung für die 2. Wendetangente könntest du jetzt genau so aufstellen.

Comments

Ich komme nicht ganz damit zurecht, wie du bei den Wendepunkten deinen x-Wert in fa(x) einsetzt. Also bei dem Auflösen der Gleichung dann.

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Was ist (√a)^4 = a^2 oder und (√a)^2 = a

0.25·(√(a/6))⁴ - 0.25·a·(√(a/6))² = 0.25·a^2/6^2 - 0.25·a·a/6 = a^2/144 - a^2/24 = - 5/144·a^2

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Wie komme ich denn beim einsetzen in die erste Ableitung auf das Ergebnis?

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√(a/6)^3 - 0.5·a·√(a/6)

= (a/6)^{3/2} - 0.5·a·(a/6)^{1/2}

= (a/6)^{3/2} - 0.5·6·(a^3/6^3)^{1/2}

= (a/6)^{3/2} - 3·(a/6)^{3/2}

= - 2·(a/6)^{3/2}

= - 2·6^{-3/2}·a^{3/2}

= - √6/18·a^{3/2}

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Warum multiplizierst du denn beim 3. Schritt 6 mit 0,5?

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0.5 * 6 ist doch etwas was ich gleich ausrechnen kann. Warum sollte ich das denn als 2 Faktoren stehen lassen. Was man einfach ausrechnen kann sollte man auch machen.