Folgende Grenzwerte bestimmen. Bsp. lim_(n→∞) [ (n + 1) / (n - 1) ]

Question

Ich komme einfach nicht auf die Ergebnisse drauf. Wäre super wenn jemand mir die Lösung mit Lösungsweg posten kann.

Answer 1

Hallo jessygame,

es muss natürlich jeweils  " lim _n→∞"  statt   " lim _n→n"  heißen.

Grenzwertsätze für Folgen:

         https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)

insbesondere:

-   Regeln für Summen- Produkt- und Quotientenfolgen

-   lim _n→∞ ( 1 + 1/n )ⁿ  = e       (1)

-   Ist f: ℝ → ℝ stetig im Punkt a und konvergiert a_n  gegen a, dann gilt

       lim _n→∞  f(a_n) = f( lim _n→∞  a_n )  = f(a)   (2) 

a)

mit z = 5n  →  2n = 2/5 z   gilt   wegen  " n→∞  ⇔  z →∞ "

lim_n→∞ ( 1 + 1 / (5n) )²ⁿ  =  lim_z→∞ [ ( 1 + 1 / z )^z ]^2/5

                                         =_(1),(2)  [ lim_z→∞ ( 1 + 1 / z )^z ]^2/5 =  e^2/5 

b)

lim_n→∞ [ (n + 1) / (n - 1) ]  =   lim_n→∞ [ n * (1 + 1/n) / (n * (1 - 1/n)) ]

                                           =   lim_n→∞ [ (1 + 1/n) / (1 - 1/n) ]  =_S,Q  1/1   =  1 

c) 

lim_n→∞ (1+1/n)^n-2  =  lim_n→∞ [ (1+1/n)ⁿ * (1+1/n)^-2 ]  =_(2),S,Q   e * 1   =  e

Gruß Wolfgang