Untersuchung der Folge an .= (1-1/n)^{3n} * (1+1/n)^{n-3}

Question

Ich komm bei der Aufgabe nicht weiter:

Untersuchen Sie die Folge a_n := (1- (1/n))^{3n} * (1+(1/n))^{n-3} auf Konvergenz und bestimmen Sie (wenn möglich) den Grenzwert.

Hinweis: lim_n->∞(1-(1/n))^n = e^{-1}

Folgendes habe ich umgeformt um den Grenzwert herauszufinden:

(1- (1/n))^{3n} * (1+(1/n))^{n-3} = ((1-(1/n))^n)^3 * (1+(1/n))^{n-3} = (e^{-1})^3 * (1+(1/n))^{n-3} = e^{-3} * ((1+1/n)^n)/((1+1/n)^3) = e^{-3} * e/((1+(1/n))^3) 

Da nun der Nenner (1+1/n) gegen 1+0 geht, also 1, ist der Grenzwert e^{-3} * e/1, bzw. e^{-3} * e. Stimmt das so ? 

Answer 1

Ich finde das ganz OK.

Comments

Danke, aber wie mach ich nun weiter ? 

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Ist doch fertig, nur deine Schreibweise ist nicht ganz exakt, eher so:

(1- (1/n))³ⁿ * (1+(1/n))^n-3
= ((1-(1/n))ⁿ)³ * (1+(1/n))^n-3
= ((1-(1/n))ⁿ)³ *  ((1+1/n)ⁿ) / ((1+1/n)³)

Und die ersten beiden Faktoren haben den Grenzwert e-3 bzw. e

und der Divisor den Grenzwert 1, also ist nach den Grenzwertsätzen

der Grenzwert der Folge

= e^-3 * e/  1    = e^-2 .

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Eine Frage wie kommt es dazu, dass das e / ((1+1/n)³) zu e/1 wird? 

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Weil der Grenzwert von ((1+1/n)^3) 1 ist, da 1/n gegen 0 konvergiert -> (1+0)^3 = 1 also folgt daraus -> e/1