Zeigen Sie mit Hilfe der Bernoulli Ungleichung

Question

Seien a_1, ....., a_n >=0 und n∈ℕ, und a(quer) das arithmetische Mittel. Sei a_n+1>=0. Zeigen Sie mit Hilfe der Bernoulli Ungleichung,  

Text erkannt:

\( \left(\frac{\sum \limits_{k=1}^{n+1} a_{k}}{(n+1) \cdot \bar{a}_{n}}\right)^{n+1} \geq \frac{a_{n+1}}{\bar{a}_{n}} \)

Wie kann ich den Ausdruck ideal vereinfachen, dass ich die Bernoulli Ungleichung anwenden kann?

Answer 1

\( \left(\frac{\sum \limits_{k=1}^{n+1} a_{k}}{(n+1) \cdot \bar{a}_{n}}\right)^{n+1}  \)

\( = \left(\frac{a_{n+1}+\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}}{(n+1) \cdot \bar{a}_{n}}\right)^{n+1} \)

\( = \left(\frac{a_{n+1}}{(n+1) \cdot \bar{a}_{n}}+\frac{\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}}{(n+1) \cdot \bar{a}_{n}}\right)^{n+1} \)

\( = \left(\frac{a_{n+1}}{(n+1) \cdot \bar{a}_{n}}+\frac{n \cdot \bar{a}_{n}}{(n+1) \cdot \bar{a}_{n}}\right)^{n+1} \)

\( = \left(\frac{a_{n+1}}{(n+1) \cdot \bar{a}_{n}}+\frac{n}{n+1}\right)^{n+1} \)

\( = \left(\frac{a_{n+1}}{(n+1) \cdot \bar{a}_{n}}+1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \)

\( = \left(1+\frac{a_{n+1}}{(n+1) \cdot \bar{a}_{n}}-\frac{ \bar{a}_{n}}{(n+1)\cdot \bar{a}_{n}}\right)^{n+1} \)

\( = \left(1+\frac{a_{n+1}-\bar{a}_{n}}{(n+1) \cdot \bar{a}_{n}} \right)^{n+1} \)

Jetzt Bernoulli gibt

\(  \ge 1+(n+1)\frac{a_{n+1}-\bar{a}_{n}}{(n+1) \cdot \bar{a}_{n}}  \)

\( =  1+\frac{a_{n+1}-\bar{a}_{n}}{ \bar{a}_{n}}  \)

\( =  1+\frac{a_{n+1}}{ \bar{a}_{n}}-\frac{\bar{a}_{n}}{ \bar{a}_{n}}  \)

\( =  \frac{a_{n+1}}{ \bar{a}_{n}} \)