Beweise lim n→∞ ( 1 − x^{2}/n^{2})^{n }= 1 mit Bernoulli-Ungleichung

Question

Aufgabe:

Es sei x ∈ R. Beweisen Sie
lim n→∞ ( 1 − x²/n²)ⁿ = 1.

Hinweis: Verwenden Sie die Bernoulli-Ungleichung und dass für große n gilt x²/n²≤ 1.

Problem:

Als wir das in der Vorlesung hatten, war ich leider krank. Könnte mir bitte einer zeigen wie das geht?

Answer 1

Offenbar gilt für alle x ∈ ℝ    x^2 ≥ 0

und für alle n∈ℕ mit n > 0 auch n^2 > 0 also

                x^2 / n^2    ≥ 0

      ==>          -  x^2 / n^2    ≤ 0  #

Andererseits ist für hinreichend große n ( bei festem x) irgendwann

   n^2 > x^2    also   1 >  x^2 / n^2

bzw.         x^2 / n^2  < 1 ( siehe Tipp in der Aufgabe.)

Dann ist aber    -  x^2 / n^2   >  - 1 und damit kann # ergänzen zu

              - 1 <      -  x^2 / n^2    ≤ 0

==>         0  <    1  -  x^2 / n^2    ≤  1   ##

und wenn man eine Zahl zwischen 0 und 1 mit n ∈ℕ potenziert, erhält

man Ergebnisse zwischen 0 und 1 , also hat man für hinreichend große n:

                 0 <   ( 1  -  x^2 / n^2 ) ^n    ≤   1   ###

Andererseits ist wegen   -  x^2 / n^2   >  - 1  die Bernoulli-Ungleichung

                ( 1+z)^n ≥  1 +n*z

mit   z=  -  x^2 / n^2 anwendbar und gibt

            ( 1    -  x^2 / n^2   )^n ≥  1 +n*(  -  x^2 / n^2 )  = 1 - x^2 / n

Zusammen mit ### besagt dies: Für große n gilt

      1 ≤   ( 1    -  x^2 / n^2   )^n     ≥  1 - x^2 / n

Für n gegen unendlich gehen in dieser Ungleichung die

rechte und die links Seite gegen 1 , also die Mitte auch.  q.e.d.