Aufgabe:
$$\text{Zeigen Sie, dass folgende rekursiv definierte Folgen konvergieren und bestimmen Sie anschließend}\\\text{deren Grenzwerte:}\\\text{(i) } a_1=2 \text{ und } a_{n+1}=2-\frac{1}{a_n} \text{ für } n \geq 1 \\\text{(ii) } b_1 = \sqrt{2} \text{ und } b_{n+1} = \sqrt{2+b_n} \text{ für } n \geq 1$$
Ansätze:
Ich fange bei der (ii) an, da ich dort mehr habe:
Hier habe ich mit Induktion zunächst gezeigt, dass die rekursive Folge nach oben durch 2 beschränkt ist. Danach habe ich gezeigt, dass diese monoton wachsend ist. Laut einer Definition aus unserem Skript konvergiert diese Folge dann. Kommen wir zum Grenzwert (dort hapert es in dieser Teilaufgabe).
$$\lim\limits_{n\to\infty} b_n=\lim\limits_{m\to\infty}b_{m+1}=\lim\limits_{x\to\infty} b_{n+1}=:b\\ \text{Dann gilt hier: }\\\lim\limits_{n\to\infty} b_n=\lim\limits_{n\to\infty} b_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty} (\sqrt{2+b_n})=\sqrt{2}+(\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{b_n})\\\text{Dann umformen:}\\b = \sqrt{2}+b \Longleftrightarrow b \cdot \sqrt{2}=2+b \cdot \sqrt{2} \text{<= Hier komme ich nicht weiter...}$$
Bei der (i) habe ich zunächst wieder per Induktion gezeigt, dass a_n nach oben durch 1 beschränkt ist. Zum Teil, ob es monoton wachsend ist:
$$a_n \text{ ist monoton wachsend, d.h. } a_{n+1} \geq a_n \\\text{Ich habe mich dann an einer Nebenrechnung versucht, um } a_n \text{ irgendwie einzusetzen. Leider ohne Erfolg. }\\\text{Mir ist klar, dass ich folgenden Schritt machen muss:}\\a_{n+1} = 2-\frac{1}{a_n}=...=a_n \\\text{Leider bekomme ich es einfach nicht umgeformt.}\\\text{Auch beim Grenzwert tue ich mich hier schwer. Ich weiß, dass dort 1 rauskommen muss, aber ich erhalte a = 4.}$$
Ich hoffe jemand kann mir dabei helfen.
Vielen Dank im Voraus!
