\documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document}
Hallo Mathelounge community,
Ich habe wieder mal einen Ansatz jedoch keine Ahnung ob das richtig wäre, und wollte fragen ob mir jemand vlt. helfen könnte und darüber schauen könnte.
Danke im voraus!
Aufgabe:
Wir definieren die rekursive Folge (an) mit
a1 = 0,
an+1 =\( \frac{1}{2} \) an + \( \frac{1}{3} \) ∀n ∈ N.
Zeigen Sie, dass die Folge (an)
(a) monoton wachsend ist,
(b) beschränkt ist
(c) und einen Grenzwert besitzt. Bestimmen Sie diesen.
Mein ansatz:
(a) Monotonie der Folge:
Um zu zeigen, dass die Folge monoton wachsend ist, betrachten wir den Unterschied zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern:
Wir haben an+1 - an =\( \frac{1}{2} \) an + \( \frac{1}{3} \) -an
Daraus ergibt sich:
an+1 - an =\( \frac{1}{2} \) an + \( \frac{1}{3} \) -an
=-\( \frac{1}{2} \) an + \( \frac{1}{3} \)
Wir müssen zeigen, dass a n+1 -an > 0 für alle n ist, um zu beweisen, dass die Folge monoton wachsend ist.
\( -\frac{1}{2}a_n + \frac{1}{3} > 0 \)
\( -\frac{1}{2}a_n > -\frac{1}{3} \)
\( a_n < \frac{2}{3} \)
Wir wissen bereits, dass an immer positiv ist (durch die rekursive Definition), daher ist an kleiner als \( \frac{2}{3} \) Also ist die Folge monoton wachsend.
(b) Beschränktheit der Folge:
Um zu zeigen, dass die Folge beschränkt ist, betrachten wir an Offensichtlich ist an immer größer oder gleich Null. Um die obere Schranke zu finden, betrachten wir den Grenzwert der Folge.
(c) Grenzwert der Folge:
Angenommen, die Folge (an) konvergiert gegen einen Grenzwert . Dann kann man schreiben:
L = \( \frac{1}{2} \)L + \( \frac{1}{3} \)
Um L zu finden, lösen wir diese Gleichung:
L = \( \frac{1}{2} \)L + \( \frac{1}{3} \)
\( \frac{1}{2} \)L = \( \frac{1}{3} \)
L = \( \frac{2}{3} \)
Also ist der Grenzwert der Folge\( \frac{2}{3} \)
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die gegebene rekursive Folge:
(a) monoton wachsend ist,
(b) beschränkt ist (durch\( \frac{2}{3} \) ),
(c) und gegen den Grenzwert \( \frac{2}{3} \) konvergiert.
