Induktionsbeweis für rekursive Folge

Question

Aufgabe:

Es sei s_n rekursiv durch s₁ := 2 und
∀n∈N: s_n+1 := 1/2 (s_n + 2/s_n)

definiert.

a) ∀n∈N: 1≤ s_n ≤ 2.

b)∀n∈N:  s²_n ≥ 2.

c) s_n fällt monoton.
d) Die Folge s_n konvergiert, und für ihren Grenzwert s∞ gilt s²∞ = 2.

Problem/Ansatz:

Ich habe bei a und b bereits mit einer Induktion begonnen, kriege aber nicht den richtigen Einfall für den Induktionsschluss.

Comments

Bei (b) braucht's keine Induktion:$$s_{n+1}^2-2=\left(\frac{s_n}2+\frac1{s_n}\right)^{\!2}-2=\left(\frac{s_n}2-\frac1{s_n}\right)^{\!2}\ge0.$$

Answer 1

Zu a)

Der Induktionsanfang ist klar, weil \( 1 \le 2 \le 2 \) gilt. Weiter gilt $$  s_{n+1} = \frac{1}{2} \left( s_n + \frac{2}{s_n} \right) $$ wegen der Induktionsvorausetzung gilt \( s_n \le 2 \) und \( s_n \ge 1 \) also \( s_{n+1} \ge \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{2}{2} \right) = 1 \) und ebenso \( s_{n+1} \le \frac{1}{2} \left( 2 + \frac{2}{1} \right) = 2 \)

Zu b)

Ist schon von Spacko erledigt worden.

Zu c)

Es ist zu zeigen $$ \frac{1}{2} \left( s_n + \frac{2}{s_n} \right) \le s_n $$ also $$ \frac{2}{s_n} \le s_n  $$ Das gilt aber wegen (a) und (b)

Damit ist die Folge beschränkt und monoton, somit konvergent. Für den Grenzwert gilt also die Gleichung $$  s_\infty = \frac{1}{2} \left( s_\infty + \frac{2}{s_\infty} \right) $$ oder $$ s_\infty^2 = 2  $$