Aloha :)
Wir schauen uns die Summe zunächst genauer an, bevor wir den Grenzwert \(N\to\infty\) bestimmen:$$S_N:=\sum\limits_{n=1}^N\frac{4n+2}{n^2(n+1)^2}$$Für den einzelnen Summanden addieren wir im Zähler eine sogenannte "nahrhafte Null", indem wir \(2n^2\) addieren und wieder subtrahieren:
$$a_n:=\frac{4n+2}{n^2(n+1)^2}=\frac{2n^2+4n+2-2n^2}{n^2(n+1)^2}=\frac{2n^2+4n+2}{n^2(n+1)^2}-\frac{2n^2}{n^2(n+1)^2}$$$$\phantom{a_n}=\frac{2(n+1)^2}{n^2(n+1)^2}-\frac{2n^2}{n^2(n+1)^2}=\frac{2}{n^2}-\frac{2}{(n+1)^2}$$Damit können wir die Summe \(S_N\) nun anders aufschreiben:
$$S_N=\sum\limits_{i=1}^N\left(\frac{2}{n^2}-\frac{2}{(n+1)^2}\right)=\sum\limits_{i=1}^N\frac{2}{n^2}-\sum\limits_{i=1}^N\frac{2}{(n+1)^2}=\sum\limits_{i=1}^N\frac{2}{n^2}-\sum\limits_{i=2}^{N+1}\frac{2}{n^2}$$$$\phantom{S_N}=\frac{2}{1^2}+\sum\limits_{i=2}^N\frac{2}{n^2}-\sum\limits_{i=2}^{N}\frac{2}{n^2}-\frac{2}{(N+1)^2}=2-\frac{2}{(N+1)^2}$$
Damt ist nicht nur klar, dass die Reihe konvergiert, sondern auch dass ihr Grenzwert \(S_\infty=2\) ist.
