a) Eine der ersten Bedingungen, die man für die Konvergenz einer Reihe
prüfen sollte, ist die notwendige Bedingung für die Konvergenz,
dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden müssen.
Dies wollen wir prüfen. Nach den Limes-Sätzen für Folgen haben wir:
\(\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2022n+e^{2022}}\).
Multiplikation mit \(1=\frac{1/n}{1/n}\) liefert$$\lim \frac {1}{2022+\frac{e^{2022}}{n}}=\frac{1}{2022+e^{2022}\lim (1/n)}=\frac{1}{2022}$$
Also keine Nullfolge, d.h. die Reihe divergiert.
b) Für \(n\geq 4\) ist \(n^4+3n-10\gt n^4\). Daher gilt
\(\frac{n^2+5}{n^4+3n-10}\leq \frac{n^2}{n^4}=\frac{1}{n^2}\) ab n=4.
\(\sum\frac{1}{n^2}\) ist daher für fast alle n eine konvergente Majorante,
also konvergiert die Reihe. Schneller führt das Kürzen von Gast 2016 zum Ziel.
Dass die Reihenglieder dann eine Nullfolge bilden, ist aber
bekanntermaßen kein hinreichendes Argument für Konvergenz. Es muss
dann ein weiteres Argument nachgeschoben werden, z.B. eine geeignete
Majorantenabschätzung.
